Loi binomiale

En mathématiques, une loi binomiale de paramètre n et p correspond au modèle suivant :

On renouvelle n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p (expérience aléatoire à deux issues possibles, généralement dénommées respectivement « succès » et « échec », la probabilité d'un succès étant p, celle d'un échec étant q = 1 - p). On compte alors le nombre de succès obtenus à l'issue des n épreuves et on appelle X la variable aléatoire correspondant à ce nombre de succès.

L'univers X(Ω) désigne l'ensemble des entiers naturels de 0 à n.

La variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par :

$P(k) = prob(k)= C_{n}^{k}p^k q^{n-k}$

Le symbole $C_{n}^{k}$ correspond à un nombre de combinaisons et se calcule à partir de la fonction factorielle.

Cette loi de probabilité s'appelle la loi binômiale de paramètre (n ; p) et se note B(n ; p).

Sommaire

1 Calcul de P(k)

2 Espérance, Variance, Ecart type

3 Convergence

4 Loi des grands nombres

5 Voir aussi

6 Lien externe

Calcul de P(k)

Une épreuve de Bernoulli conduit à la création d'un univers Ω = {S ; E}.

n épreuves de Bernoulli indépendantes conduisent à la création d'un univers Ωⁿ constitué de n-uplets d'éléments de Ω sur lequel peut se définir une probabilité produit. La probabilité de l'éventualité (S, S, ..., S, E, E, ..., E) avec k succès et n - k échecs a donc pour valeur p^kq^n-k.

Plus généralement, tout n-uplet formé de k S et de n-k E aura pour probabilité p^kq^n-k quel que soit l'ordre d'apparition des S et des E.

L'événement « X = k » est formé de tous les n-uplets comportant k S et n - k E. La combinatoire permet de déterminer le nombre de n-uplets de ce type : il y en a autant que de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments, chaque partie correspond à une façon de placer les k succès parmi les n places du n-uplet. Il y a donc $C_n^k$ n-uplets, chacun ayant une probabilité de p^kq^n-k.

Donc P(X = k) = $C_n^k p^k q^{n-k}$

Espérance, Variance, Ecart type

X est la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Bernoulli (prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec) d'espérance p et de variance pq.

E(X) est donc la somme des espérances soit np
V(X) est la somme des variances soit npq
$\sigma_X = \sqrt{npq}$

Convergence

Pour des grandes valeurs de n, le calcul de $C_n^k p^k q^{n-k}$ devient vite pratiquement impossible, sauf si l'on cherche à calculer le logarithme de cette expression au lieu de l'expression elle-même (et à condition d'utiliser l'approximation des factorielles par la formule de Stirling).

Si n tend vers l'infini et si p tend vers 0 avec np = a, la loi binomiale converge vers une loi de Poisson de paramètre a. En pratique, on remplace la loi binomiale par une loi de Poisson dès que n >30 et np < 5.

Si n tend vers l'infini et si p et q sont de même ordre de grandeur, la loi binomiale converge vers un loi normale d'espérance np et de variance npq. En pratique, on remplace une loi binomiale par une loi normale dès que n > 30, np > 5 et nq > 5

Loi des grands nombres

La loi binomiale, son espérance et sa variance ainsi que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permettent de démontrer une version simple de la loi des grands nombres.

Voir aussi

Lien externe

Table de la loi binomiale