Logique modale

La logique modale est une logique à laquelle on a ajouté des modificateurs, qu’on pourrait comprendre en grammaire comme des adverbes.

Par exemple, je peux modifier la proposition « Il pleut » comme ceci :

Il est possible qu’il pleuve
Il est démontré qu’il est faux qu’il pleuve
Il n’est pas permis qu’il pleuve

J’ai modifié cette proposition respectivement avec les modes possible, démontré que ne pas et n’est pas permis.

Sommaire

1 Différentes logiques modales

1.1 Logique modale classique
1.2 Théorèmes de logique modale
1.3 Problèmes de logique modale

2 Voir aussi

Différentes logiques modales

Il existe plusieurs types de logiques modales, dont les modes sont :

classiques (ou aristotéliciens) :
- nécessaire, noté $\Box$
- contingent, noté $\neg \Box$
- possible, noté $\Diamond$
- impossible, noté $\neg \Diamond$
épistémiques (relatifs à le connaissance) :
- établi
- contestable
- exclu
- plausible
déontiques (moraux) :
- obligatoire, noté O
- interdit, noté I
- permis, noté P
- facultatif, noté F

Logique modale classique

Il est clair que nous pouvons exprimer les quatre opérateurs à l’aide d’un seul (ici la nécessité) et de la négation. Ainsi:

impossible est $\square \neg$
possible est $\neg \square \neg$

Une proposition nécessaire ne peut pas être fausse sans impliquer de contradiction, a contrario d’une proposition contingente qui peut impliquer une contradiction.

Théorèmes de logique modale

$\Box P \supset \Diamond P$ soit la nécessité implique la possibilité
$P \wedge \Diamond P$ soit la conjonction (P vrai et P possible) est vraie
$\neg P \wedge \Diamond \neg P$ soit la conjonction (P faux et P contingent) est vraie
$\neg ( \neg P \wedge \Box P )$ soit la conjonction (P faux et P nécessaire) est fausse
$\neg ( P \wedge \Box \neg P )$ soit la conjonction (P vrai et P impossible) est fausse

Problèmes de logique modale

À compléter

Voir aussi

Contingence
Théorie Dezert-Smarandache