Logarithme décimal

Le logarithme décimal ou log₁₀ est le logarithme de base dix. Il est défini en tous les réels strictement positifs x. Le logarithme décimal est la fonction inverse de la fonction f(x)=10^x: pour x>0, si y = log₁₀(x) alors x=10^y.

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la fonction logarithme décimal

Usage

Avant 1970, les calculatrices électroniques n'étaient pas encore d'un usage très répandu. On utilisait encore des table de logarithme de base 10 que l'on trouvait dans les appendices de beaucoup de livres, et les calculs étaient effectués à la main sur papier. Les logarithmes de base 10 ou logarithmes décimaux étaient appelés «logarithmes vulgaires». Une table des «logarithmes vulgaires» donnait le logarithme de chaque nombre de la colonne de gauche allant de 1 à 10 par petites graduations de 0.01 ou 0.001.

Il n'y avait pas de besoin d'inclure de nombres non compris entre 1 et 10, puisque si on voulait le logarithme de, par exemple 120, on savait que

$\log_{10}120=\log_{10}(10^2 \times 1,2)=2+\log_{10}1,2\cong2+0,079181.$

Le dernier nombre (partie fractionnaire du logarithme de 120) appelé la mantisse du logarithme vulgaire de 120 a été trouvé dans une table. La partie entière du logarithme vulgaire de 120, appelée caractéristique du logarithme vulgaire de 120, vaut 2. Si on voulait le logarithme de 0,00314, on écrivait :

$\log_{10}0,00314=\log_{10}(10^{-3} \times 3,14)=-3+\log_{10}3,14\cong-3+0,4969296481$

On utilisait le résultat suivant : tout nombre réel strictement positif x, s'écrit sous forme du produit d'une puissance positive ou négative de 10 et d'un nombre compris entre 1 et 10.

En effet, pour tout réel x strictement positif, il existe un entier relatif n, tel que $10^n \leq x < 10^{n+1}$ (la suite $\left(10^n\right)_{n\in\mathbb Z}$ étant strictement croissante, $\lim_{n\rightarrow + \infty}10^n=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow - \infty}10^n=0$ , les intervalles $[10 n,10 n + 1 [$ pour n entier relatif, forment une partition de $\mathbb R_+^*$ )

en posant $M=\frac{x}{10^n}$ , on obtient $1\le M<10$ et donc, pour tout réel x strictement positif, il existe un entier relatif n et un réel M, tels que $x = 10 n . M$ et $1\leq M<10$

donc

l o g 10 x = n + log 10 M

L'entier n est la caractéristique du logarithme

et $l o g 10 M$ est la mantisse et est un réel vérifiant $0\leq \log_{10}M<1$

Les logarithmes vulgaires sont parfois appelés les logarithmes de Briggs. William Briggs fut un mathématicien britannique du XV^e siècle, auteur des tables de logarithmes décimaux publiées à Londres en 1624 dans un traité intitulé Arithmetica Logarithmetica.

Logarithme décimal

Usage

See also: Logarithme décimal, 1624, 1970, Dix, Logarithme, Table de logarithme, XVe siècle, William Briggs