Localisation

Sommaire

Notion intuitive

La localisation est une des opérations de base sur un anneau commutatif unitaire; c'est elle qui permet de rajouter des inverses aux éléments qui peuvent raisonnablement en avoir (les diviseurs de zéro sont l'exemple typique d'élément qu'il est déraisonnable de vouloir inverser).

Définition rigoureuse

On définit une partie multiplicative $S$ d'un anneau $A$ comme étant une partie de $A$ contenant $1$ , et stable par multiplication.

La localisation de l'anneau $A$ en la partie $S$ est alors un anneau, noté $S - 1 A$ , et un morphisme $l:A\rightarrow S^{-1}A$ , tels que: $l(S)\subset(S^{-1}A)^*$ , et universels ayant cette propriété; c'est-à-dire que pour tout un morphisme d'anneaux $f:A\rightarrow B$ , si $f(S)\subset B^*$ , alors il existe un unique morphisme $g: S^{-1}A\rightarrow B$ tel que $f=g\circ l$ .

Exemples importants

les éléments réguliers $A^\times$ forment une partie multiplicative; l'anneau $(A^\times)^{-1}A$ est l'anneau total des fractions de $A$ ;
le complémentaire d'un idéal premier $p$ est une partie multiplicative, et peut donc servir pour localiser l'anneau. Dans ce cas, on note $A p = (A - p) - 1 A$ . C'est un anneau local.

A voir

la construction des nombres rationnels

Localisation

Notion intuitive

Définition rigoureuse

Exemples importants

A voir

See also: Localisation, Anneau (mathématiques), Construction nombres rationnels, Idéal, Anneau local