Lemme (mathématiques)
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En mathématiques et en logique mathématique, un lemme est une affirmation qui fait partie de la démonstration d'un théorème plus grand.
En effet, la méthode de démonstration d'un théorème est souvent la suivante :
- on veut démontrer le théorème T à partir d'une certaine liste d'axiomes et d'autres résultats déjà démontrés, et cela n'a pas l'air évident au premier abord ;
- mais on se dit, que si on savait L vrai (L est une autre assertion, qui sera appelée lemme), on pourrait conclure immédiatement étant donné les règles de logique admises ;
- on pose L comme le résultat à démontrer, et on lui applique une méthode de résolution de théorème ;
- une fois L démontré, on en déduit T.
Ce principe est notamment utilisé par les logiciels appelés assistants de preuve tels Coq ou PVS.
Certains lemmes démontrés deviennent plus célèbres que le théorème pour lequel ils ont été créés, et restent connus sous le nom « Lemme de XXX » bien que jouant habituellement un rôle de théorème.
Exemples :
- lemme de Zorn : célèbre pour être équivalent à l'axiome du choix dans la théorie des ensembles ZF — joue donc aussi bien le rôle d'un théorème conséquence de cet axiome que celui d'une reformulation de l'axiome (donc d'un axiome) ;
- lemme de l'étoile : théorème de la théorie des langages formels, devenu plus célèbre que le théorème de l'étoile ;
- lemme des bergers ;
- Lemme de Bézout...