Lemme de Gauss
Dans la théorie des polynômes, le lemme de Gauss relie le plus haut facteur commun (phfc) d'un produit de deux polynômes à coefficients entiers aux phfc de ses facteurs. Si nous considérons R = P.Q alors, n'importe quel facteur commun des coefficients de P sera divisible par tous les coefficients de R, cela se montre par une démonstration facile. Le lemme fonctionne d'une autre manière, en limitant les facteurs communs pour R. Il fournit ce qui était nécessaire pour conclure que le phfc des coefficients de R est exactement le produit des phfc de P et Q.
Un énoncé équivalent : si les phfc de P et Q est 1, alors il est aussi de 1 pour R.
Dans le cas d'une variable, il existe une démonstration simple de ceci. Considérons un nombre premier p, et essayons de montrer que R mod p (c.a.d. R avec les coefficients reduits au corps des résidus modulo p) n'est pas 0. En fait le degré de R mod p est la somme de ceux de P mod p et de Q mod p, qui est plus qu'assez, parceque nous travaillons dans un corps.
Une conséquence importante est que R peut seulement se factoriser comme un produit de polynômes avec des coefficients en nombres rationnels, si cela est déjà effectué dans les polynômes entiers. On peut voir ceci en vérifiant les puissances d'un nombre premier fixé p nécessaire pour réduire les dénominateurs ; le même argument marche comme précédemment, et cette version peut aussi être appelée le lemme de Gauss. Il s'applique au théorème des racines rationnelles.
Il existe une généralisation à plusieur variables.
Le lemme de Gauss dans la théorie des nombres est utilisé dans certaines démonstrations de la loi de réciprocité quadratique.
Pour n'importe quel nombre impair p, soit a un entier qui est relativement premier à p.
Considéront les entiers
et leurs plus faibles résidus modulo m.
Soit n le nombre de ces résidus qui sont plus grands que p/2. Alors
où 
est le symbole de Legendre.
Ceci peut, par exemple, être appliqué immédiatement quand a = −1, donnant
D'un point de vue plus sophistiqué, ceci est un cas de transfert.