Langage formel mathématique

Le langage formel mathématique est le langage formel utilisé en mathématiques pour représenter les concepts mathématiques.

Sommaire

1 Introduction

2 Liste de symboles de base du langage formel

2.1 Pour tout
2.2 Il existe
2.3 Ensemble vide
2.4 Elément de
2.5 Somme
2.6 Produit
2.7 Inclus dans

Introduction

Comme tous les autres langages formels, ce langage a pour but de retirer l'ambiguité d'une proposition en la décomposant en un ensemble limité d'éléments dont l'agencement ne peut avoir qu'un unique sens.

Par exemple, pour dire que $x$ vaut un, on utilisera :

x = 1

Ce langage permet aussi dans une moindre mesure de faciliter la communication entre des mathématiciens ne parlant pas la même langue. S'il ne remplace pas complètement le langage naturel, il permet d'exprimer les concepts mathématiques les plus complexes sous une forme qui est identique suivant les langues et les cultures, évitant ainsi les quiproquos sur les concepts mathématiques, par des gens ne maîtrisant pas toutes les subtilités grammaticales et syntaxiques de la langue de communication employée.

Malheureusement, certains concepts du langage formel mathématique restent spécifiques à une culture donnée. Ainsi, dans la littérature mathématique francophone, l'assertion $A \subset B$ signifie « l'ensemble A est un sous-ensemble ou est égal à B » alors que dans la littérature mathématique anglophone, il signifiera plutôt « l'ensemble A est un sous-ensemble strict de B ».

Liste de symboles de base du langage formel

Pour tout

$\forall$

$\forall e_1 \in e_2, e_3$

Cet élément est un quantificateur, dit quantificateur universel. Il permet d'affirmer qu'une proposition est vraie pour un ensemble de cas différents. Ici, la proposition est vraie si et seulement si

e 3

est vrai lorsque

e 1

prend chacune des valeurs de l'ensemble

e 2

Cette proposition peut se lire en français : « Pour tout élément e1 variant dans l'ensemble e2, la proposition e3 est vraie »

Remarque : si E désigne l'ensemble { a, b, c, ... } et P( x) une proposition dépendant d'une variable x, alors :

$(\forall x \in E, P(x)) \Leftrightarrow (P(a)\wedge P(b)\wedge P(c)\wedge ...)$

Exemple:

$\forall x \in ]0,+\infty[, x > 0$

Cette proposition se lit « pour tout nombre réel x compris entre 0 exclu et plus l'infini, x est strictement supérieur à 0 (strictement positif) ».

Il existe

$\exists$

$\exists e_1 \in e_2 / e_3$

Cet élément est un quantificateur, dit quantificateur existentiel. Il permet d'affirmer qu'une proposition est vraie pour au moins un cas d'un ensemble de cas différents et de nommer ce cas là. Ici, la proposition est vraie si et seulement s’il existe un élément

e 1

contenu dans l'ensemble

e 2

, et que, pour cet élément

e 1

dans la proposition

e 3

, cette proposition

e 3

soit vraie.

Cette proposition peut se lire en français : « Il existe e1 de l'ensemble e2 tel que la proposition e3 soit vraie »

Remarque : si E désigne l'ensemble { a, b, c, ... } et P( x) une proposition dépendant d'une variable x, alors :

$(\exists x \in E / P(x)) \Leftrightarrow (P(a)\vee P(b)\vee P(c)\vee ...)$

Exemple :

$\exists x \in \mathbb{R} / x^2 = 2$

Cette proposition se lit « Il existe (au moins) un réel dont le carré soit 2 ». On peut noter que cette proposition est vraie et qu'il existe en fait 2 valeurs

x

vérifiant la proposition

x 2 = 2

qui sont $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$

Ensemble vide

$\varnothing$ est un ensemble appelé ensemble vide. Il ne contient aucun élément (sa cardinalité est nulle).

Elément de

$\in$

Ce symbole indique que l'élément qui le précede est contenu dans l'ensemble qui le suit

Par exemple :

$1 \in \{1,2,3,4,5\}$

signifie que l'élément

1

appartient à l'ensemble

{1,2,3,4,5}

Somme

$\sum$ (Lettre grecque : Sigma majuscule)

Ce symbole (le signe somme) est utilisé pour simplifier l'écriture des sommes finies longues (par exemple en évitant d'utiliser des pointillés) et aussi pour décrire simplement des sommes infinies. On utilise dans chacun de ces cas une variable dite variable muette qui va prendre des valeurs dans un ensemble précis. Cette variable muette va alors permettre la description d'un terme générique placé apres le signe somme.

Exemple:

n

est un entier strictement positif :

$\sum_{k=1}^{n} k^{2} =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Ici

k

est la variable muette, elle prend ses valeurs dans l'ensemble $\left[1,n\right]$ (ensemble d'entiers). Le terme général de cette somme est

k 2

. On aurait pu écrire de manière moins condensée :

$1+4+9+16+...+n^{2} =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Autre exemple:

Ω

étant l'ensemble des nombres pairs positifs

$\sum_{k\in\Omega, k<50} k^{2} = \sum_{k=0}^{24} (2k)^{2}$

Ici

k

appartient à un ensemble défini par deux conditions : ses éléments sont des entiers positifs pairs et ils sont strictement plus petits que 50

Exemple de somme infinie:

$\forall x \in \Re, \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} = e^{x}$

On aurait pu écrire de manière moins condensée :

$1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{k}}{k!}+... =e^{x}$

Un dernier exemple à cogiter:

$\sum_{0 < k^{2} < 2} k = 0$

L'ensemble où k puise ses valeurs est en effet

{ - 1,1}

Produit

$\prod$ (Lettre grecque : Pi majuscule)

Ce symbole (le signe produit) est utilisé pour simplifier l'écriture des produits finis longs (par exemple en évitant d'utiliser des pointillés) et aussi pour décrire simplement des produits infinis. On utilise dans chacun de ces cas une variable dite variable muette qui va prendre des valeurs dans un ensemble precis. Cette variable muette va alors permettre la description d'un terme générique placé apres le signe produit.

Remarque

Ce symbole s'utilise de manière analogue au signe somme

Exemple

$\prod_{k=1}^{n} exp(k^{2}) = exp(\sum_{k=1}^{n} k^{2}) = exp(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})$