Lagrangien


Le lagrangien \mathcal{L}[\varphi_i] d'un système dynamique, dont le nom vient de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques qui décrit de manière concise les équations du mouvement du système. Ces dernières s'obtiennent par application du principe de moindre action (ou principe d'action extrémale), qui s'écrit :

\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0

avec l'action \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns},

et {}{}{}{}\ s_\alpha l'ensemble des paramètres du système.

Les équations du mouvement obtenues sont équivalentes aux équations d'Euler-Lagrange. Un système dynamique dont les équations du mouvement peuvent s'obtenir à partir d'un principe de moindre d'action et d'un lagrangien est un système dynamique lagrangien. C'est le cas de la version classique du modèle standard, des équations de Newton, et de problèmes purement mathématiques comme les équations des géodésiques ou le problème de Plateau.

Sommaire
1 Un exemple en mécanique classique
2 Lagrangiens et densités de lagrangien dans la théorie des champs
3 Formalisme mathématique
4 Voir aussi

Un exemple en mécanique classique

Le concept de lagrangien fut historiquement introduit dans une reformulation de la mécanique classique, la mécanique lagrangienne. Dans ce contexte le lagrangien vaut généralement l'énergie potentielle ôtée de l'énergie cinétique  : L = T - V.

Soit un espace à trois dimensions et le lagrangien

\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x}).

Les équations d'Euler-Lagrange sont alors : m\ddot\vec{x}+\nabla V=0, la dérivation temporelle étant notée par un point au dessus de la quantité différentiée.

On peut montrer alors que les approches lagrangienne et newtonienne sont équivalentes en écrivant que la force dérive du potentiel : \vec{F}=- \nabla V(x), et donc \vec{F}=m\ddot{\vec{x}}, qui est la formulation de Newton. Par un raisonnement semblable on déduirait aussi la seconde loi de Newton sous sa formme générale : \vec{F}=d\vec{p}/dt.

Soit un espace à trois dimensions en coordonnées sphériques (r,θ,φ), et le lagrangien :

\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r).

Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent alors :

m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,
m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,
\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,
\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.

Ici l'ensemble des paramètres \ s_i se réduit au temps \ t, et les variables dynamiques \ \phi_i(s) sont les trajectoires \vec x(t) des particules.

Lagrangiens et densités de lagrangien dans la théorie des champs

Dans la théorie des champs on distingue parfois le lagrangien L, dont l'intégrale sur le temps est l'action :

S = \int{L \, dt}

et la densité lagrangienne \mathcal{L}, qu'on intègre sur tout l'espace pour obtenir l'action :

S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, d^4x}

Le lagrangien est ainsi l'intégrale spatiale de la densité lagrangienne. Cependant, on appelle souvent \mathcal{L} simplement le lagrangien, surtout dans l'usage moderne. C'est plus simple dans les théories relativistes où l'espace est défnini localement. Ces deux types de lagrangiens peuvent être vus comme des cas particuliers d'une formule plus générale, selon qu'on introduit la variable spatiale \vec x dans les index i ou dans les paramètres s pour écrire \varphi_i(s). Les théories quantiques des champs en physique des particules, comme l'éléctrodynamique quantique, sont généralement écrites en termes de densités de lagrangiens \mathcal{L}, ces termes se transformant facilement pour donner les régles permettant d'évaluer les diagrammes de Feynmann.

Formalisme mathématique

Soit M une variété de dimension n, et une variété de destination T. Soit \mathcal{C} l'espace de configuration de la fonction continue s de M dans T.

Avant tout donnons quelques exemple :

Supposons maintenant qu'il existe une fonctionnelle S:\mathcal{C}\rightarrow\mathbb{R}, qu'on appelle l'action physique. Notons que c'est un « mappage » vers \mathbb{R}, et non vers \mathbb{C}, pour des raisons physiques.

Pour que l'action soit locale, nous avons besoin de restrictions supplémentaires sur l'action. Si \varphi\in\mathcal{C}, on impose que S[φ] soit l'intégrale sur M d'une fonction de φ, de ses dérivées et des positions qu'on appelle le lagrangien \mathcal{L}(\varphi,\partial\varphi,\partial\partial\varphi, ...,x). En d'autres termes,

\forall\varphi\in\mathcal{C}\, S[\varphi]\equiv\int_M d^nx \mathcal{L}(\varphi(x),\partial\varphi(x),\partial\partial\varphi(x), ...,x).

La plupart du temps, on impose que le lagrangien dépende uniquement de la valeur des champs, de leur dérivées premières, mais pas des dérivées d'ordre supérieur. C'est en fait seulement par commodité, et ce n'est pas vrai en général. Nous le supposons cependant dans le reste de cet article.

Fixons des conditions aux limites, essentiellement la donnée de φ aux frontières si M est compact, ou une limite pour φ quand x tend vers l'infini (ce qui est être pratique lors d'intégrations par parties). Le sous-espace de \mathcal{C} des fonctions φ telles que toutes les dérivées fonctionnelles de l'action S en φ soient 0 et que φ satisfasse aux conditions aux limites, est l'espace des solutions physiques.

La solution est donnée par les équations d'Euler-Lagrange (en utilisant les conditions aux limites) :

\frac{\delta}{\delta\varphi}S=-\partial_\mu \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)+ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}=0.

Notons qu'on retrouve la dérivée fonctionnnelle par rapport à φ de l'action dans le membre de gauche.

Voir aussi

See also: Lagrangien, Action, Action (physique), Fonction, Joseph Louis Lagrange, Modèle standard, Mécanique hamiltonienne, Plateau, Système dynamique, Théorème de Noether