Isomorphisme

Sommaire

Définitions

Algébriste

En algèbre, un isomorphisme est un morphisme bijectif. Autrement dit, c'est une bijection pour laquelle les relations algébriques entre les éléments de l'ensemble d'arrivée sont les mêmes que celles entre leurs antécédents respectifs (la structure algébrique est préservée).

Catégorique

Plus généralement, dans la théorie des catégories un isomorphisme est un morphisme qui possède un inverse à gauche et un inverse à droite.

inverse à gauche : si f : A → B, alors il existe g : B → A tel que g ∘ f = Id_A
inverse à droite : si f : A → B, alors il existe g : B → A tel que f ∘ g = Id_B

Remarquons qu'avec une notation covariante telle que « ; » à la place de la notation contravariante « ∘ » pour la composition des morphismes, il faudrait inverser ces deux dernières définitions, ou alors préférer appeler ces inverses respectivement post-inverse et pré-inverse.

Notons aussi que dans le cas d'une application d'un ensemble A dans un ensemble B, l'existence d'un inverse à gauche est équivalente à celle d'un inverse à droite et que les deux inverses sont la même application, simplement appelée réciproque.

Propriétés

En particulier un isomorphisme est à la fois un épimorphisme et un monomorphisme, mais la réciproque est fausse en général : à savoir qu'il existe des morphismes à la fois épiques et moniques qui ne sont pas des isomorphismes. Pour plus de détails, voir : Propriétés des morphismes dans les catégories.

Objets isomorphes

Deux objets reliés par un isomorphisme sont dits isomorphes.

Selon bien des points de vues, deux objets isomorphes peuvent être considérés comme identiques. En effet, bien souvent, les propriétés intéressantes d'un objet seront partagées par tous les objets isomorphes de la catégorie. Ainsi on parle souvent d'unicité ou d'identité « à un isomorphisme près ».

Exemple : on dira souvent qu'il n'il y a qu'un seul ℝ-espace vectoriel de dimension n (« à un isomorphisme près »). Cela est vrai au sens où toutes les propriétés d'espace vectoriel (relatives à la catégorie des espaces vectoriels) démontrées sur ℝⁿ se vérifieront de la même manière, par exemple, sur ℝ_n-1[X] (polynômes à coefficients réels de degré n - 1). En revanche, si l'on considère ℝ_n-1[X] en tant qu'anneau (c’est-à-dire dans la catégorie des anneaux), cela n'a plus aucun sens. L'anneau ℝ_n-1[X] a en effet de nombreuses propriétés en tant qu'anneau qu'on ne peut transposer à ℝⁿ qui n'en est pas un.

La moralité est que cette identification entre deux objets n'aura lieu que dans une catégorie bien précise, où il existe un isomorphisme entre ces deux objets.