Intervalle (mathématiques)

Un intervalle du latin intervallum est, étymologiquement, un ensemble compris entre deux valeurs. Mais, en mathématiques cette notion première s'est ensuite développée jusqu'à aboutir aux définitions suivantes.

Sommaire

1 Intervalles de R

1.1 Inventaire
1.2 Définition générale
1.3 Union et intersection d'intervalles de R
1.4 Connexité
1.5 Décomposition des ouverts de R

2 En analyse et topologie

3 Intervalle dans un ensemble muni d'une relation d'ordre totale

Intervalles de R

Inventaire

1) Initialement on appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ses deux bornes.

Cette définition regroupe les intervalles des types suivants:

$\{x \in \mathbb{R} ; a < x < b \}=]a;b[$
$\{x \in \mathbb{R} ; a \leq x \leq b \}=[a ; b]$
$\{x \in \mathbb{R} ; a < x \leq b \}=]a;b]$
$\{x \in \mathbb{R} ; a \leq x < b \}=[a;b[$

les intervalles du premiers types sont appelés intervalles ouverts; les seconds intervalles fermés, et les deux derniers intervalles semi ouverts.

2) A ces intervalles se sont ajoutés les ensembles des réels inférieurs à une valeur, ou supérieurs à une valeur. On ajoute donc les intervalles de ce type :

$\left\{x \in \mathbb{R} ; x < a\right\}=]- \infty;a[$
$\left\{x \in \mathbb{R} ; x \leq a\right\}=]- \infty;a]$
$\left\{x \in \mathbb{R} ; x > a \right\}=]a ;+\infty[$
$\left\{x \in \mathbb{R} ; x \geq a\right\}=[a;+ \infty[$

3) Auxquels se sont ajoutés, pour faire bonne mesure, les intervalles :

$\emptyset=]a;a[$
$\emptyset=[a;b]$ avec $\ a > b$
$\mathbb{R} = ]-\infty;+\infty[$

Définition générale

Un intervalle de R est une partie I de R vérifiant la propriété suivante:

Pour tous x et y de I, pour tout réel z, si $x \leq z \leq y$ alors $z\in I$

Un ensemble vérifiant une telle propriété est un ensemble convexe.

Les intervalles de R regroupent donc toutes les parties convexes de R.

Union et intersection d'intervalles de R

Une intersection d'intervalles de R est toujours un intervalle.
- $[-3;5[ \cap ]- \infty;2] = [-3;2]$
- $[-3;5[ \cap [2 ;+\infty[ = [2 ; 5[$
- $[3;5[ \cap ]- \infty;2] = \emptyset$

Une union d'intervalles de R n'est pas toujours un intervalle. Ce sera un intervalle si les deux intervalles de départ ne sont pas disjoints.
- $[-3;5[ \cup ]- \infty;2] = ]-\infty;5[$
- $[-3;5[ \cup [2 ;+\infty[ = [-3 ; +\infty[$
- $[3;5[ \cup ]- \infty;2] = ]- \infty;2]\cup [3;5[$ on préfère ranger les intervalles par ordre croissant de leurs bornes.

Cette union ne forme pas un intervallle.

Connexité

Les parties connexes de $\R$ (pour la topologie usuelle) sont exactement les intervalles.

Décomposition des ouverts de R

On montre que tout ouvert de $\R$ peut s'écrire comme une réunion dénombrable d'intervalles ouverts.

En analyse et topologie

Les intervalles sont les parties de $\mathbb{R}$ les plus intéressantes dès que l'on parle de continuité et de dérivée.

On trouve alors, entre autres, des propriétés telles que

l'image par une fonction continue d'un intervalle de $\mathbb{R}$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ ( théorème des valeurs intermédiaires )
si la dérivée de $\ f$ garde un signe constant sur un intervalle $\ I$ , la fonction $\ f$ est monotone sur $\ I$

Intervalle dans un ensemble muni d'une relation d'ordre totale

Dans tout ensemble $\ S$ muni d'une relation d'ordre total $\leq$ , on peut définir des intervalles, de la même façon que dans $\mathbb{R}$ , comme des ensembles des types suivants :

$\left\{z \in S ; a < z < b \right\}$ , $\left\{z \in S ; a \leq z \leq b \right\}$ , $\left\{z \in S ; a < z \leq b \right\}$ , $\left\{z \in S ; a \leq z < b \right\}$
$\left\{z \in S ; z < a\right\}$ , $\left\{z \in S ; z \leq a\right\}$ , $\left\{z \in S ; z > a \right\}$ , $\left\{z \in S ; z \geq a\right\}$
$\emptyset$ , $\ S$

Il est donc tout à fait possible de définir dans $\mathbb{Z}$ l'intervalle des entiers relatifs compris entre $\ -5$ et $\ 3$ mais il serait dangereux de le noter $\ [-5;3]$ sans avertissement préalable à cause du risque de confusion avec la notation des intervalles de $\mathbb{R}$ .