Interpolation polynomiale

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Dans le domaine mathématiques de l'analyse numérique, l'interpolation polynomiale correspond à l'interpolation d'un ensemble de données par un polynôme. En d'autres termes, étant donné un ensemble de points (obtenu, par exemple, à la suite d'une expérience), vous souhaitez obtenir un polynôme qui passe exactement par chacun de ces points.

Sommaire

1 Définition

2 Construction du polynôme d'interpolation

3 Erreur d'interpolation

4 Voir aussi

Définition

Etant donné un ensemble de n+1 points (x_i,y_i) (x_i distincts 2 à 2), nous devons trouver un polynôme p de degré n qui vérifie :

$p(x_i) = y_i \mbox{ , } i=0,\ldots,n$

Le théorème de l'unisolvance précise qu'il n'existe qu'un seul polynôme p de degré n défini par un ensemble de n+1 points.

Construction du polynôme d'interpolation

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Les points rouges correspondent aux points (x_k,y_k), et la courbe bleue représente le polynôme d'interpolation.

Supposons que le polynôme d'interpolation est donné par :

$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0. \qquad (1)$

Or p doit vérifier :

$p(x_i) = y_i,\qquad \forall i \in \left\{ 0, 1, \dots, n\right\}.$

afin que ce dernier passe par l'ensemble des points à interpoler. Intégrer à l'équation (1) , on obtient un système d'équations linéaires d'inconnus $a k$ . L'écriture matricielle est la suivante :

$\begin{bmatrix} x_0^n & x_0^{n-1} & x_0^{n-2} & \ldots & x_0 & 1 \\ x_1^n & x_1^{n-1} & x_1^{n-2} & \ldots & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ x_n^n & x_n^{n-1} & x_n^{n-2} & \ldots & x_n & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_n \\ a_{n-1} \\ \vdots \\ a_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}$

Pour construire $p (x)$ , nous devons résoudre ce système afin d'obtenir les valeurs des $a k$ . Toutefois, inverser une matrice pleine est un calcul lourd (avec une méthode d'élimination de Gauss-Jordan, le calcul est de l'ordre de $\frac{2}{3}n^3$ opérations). Des méthodes nettements plus efficaces utilisent une base de polynômes lagrangienne ou newtonnienne pour obtenir une matrice respectivement diagonale ou triangulaire.

La matrice est une matrice du type matrice de Vandermonde. Son déterminant est non nul, ce qui prouve le théorème d'unisolvance : le polynôme d'interpolation est unique.

Erreur d'interpolation

L'erreur d'interpolation est donnée par un théorème de Cauchy : Si $f$ est $n + 1$ continuement différentiable sur $I = [m i n (m i n i (x i), x), m a x (m a x i (x i), x)]$ alors

$f(x) - p_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x-x_i)$ avec $\xi \in I$

Dans le cas particulier où $x i = x 0 + i h$ (points uniformément répartis), l'erreur d'interpolation est de l'ordre de O $(h n)$ .

Voir aussi

Interpolation lagrangienne

Interpolation newtonienne

Interpolation de Berstein

Interpolation polynomiale

Définition

Construction du polynôme d'interpolation

Erreur d'interpolation

Voir aussi

See also: Interpolation polynomiale, Analyse numérique, Cauchy, Interpolation, Interpolation lagrangienne, Interpolation newtonienne, Mathématiques, Matrice de Vandermonde