Interpolation lagrangienne

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En analyse numérique, les polynômes de Lagrange, du nom de Joseph Louis Lagrange, permettent d'interpoler une série de points par un polynôme qui passe exactement par ces points appelés aussi noeuds. Cette technique a été découverte par Edward Waring en 1779 et redécouvert plus tard par Leonhard Euler en 1783.

Etant donné qu'il n'existe qu'une seule interpolation pour un ensemble donné de points, en toute rigueur, il faut appeler cette méthode : Interpolation polynomiale dans une base lagrangienne.

Sommaire

1 Définition

2 Démonstration

3 Autre écriture du polynôme d'interpolation

4 Idée principale

5 Voir aussi

Définition

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Cette image montre, pour 4 points ((-9, 5), (-4, 2), (-1, -2), (7, 9)), l'interpolation polynomiale L(x) (de degré 3), qui est la somme des polynômes de base y₀l_{0_{(x)</font>, y₁l₁(x), y₂l₂(x) et y₃l₃(x).Le polynôme d'interpolation passe par les 4 points de contrôle, et chaque polynôme de base passe par son point de contrôle respectif et vaut 0 pour les x correspondant aux autres points de contrôle.}}

Etant donné un ensemble de k+1 points $(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)$ ( $x k$ distincts 2 à 2), l'interpolation polynomiale dans une base lagrangienne est donné par :

$L(x) := \sum_{j=0}^{k} y_j l_j(x)$

où les $l j (x)$ sont des polynômes de Lagrange définis de la manière suivante :

$l_j(x) := \prod_{i=0, j\neq i}^{k} \frac{x-x_i}{x_j-x_i}$

Démonstration

La fonction que l'on étudie est une fonction polynomiale L(x) de degré k avec

$L(x_j) = y_j \qquad j=0,\ldots,k$

D'après le théorème de Stone-Weierstrass, une telle fonction existe et est unique. C'est la solution du problème d'interpolation.

On peut aisément remarquer que

$l j (x)$ est un polynôme de degré k
$l_i(x_j) = \delta_{ij}, 0 \leq i,j \leq k$

Par conséquent, la fonction L(x) est aussi un polynôme de degré k et

$L(x_i) = \sum_{j=0}^{k} y_j l_j(x_i) = y_i$ .

Pour conclure, L(x) est l'unique polynôme d'interpolation.

Autre écriture du polynôme d'interpolation

Posons $v_n(x)=\prod^{n}_{j=0}(x-x_j)$ . Alors puisque $v n (x i) = 0$ , nous avons

$\frac{v_n(x)-v_n(x_i)}{x-x_i}=\frac{v_n(x)}{x-x_i}=\prod^{n}_{j=0,j \ne i}(x-x_j)$

Si l'on fait tendre $x i$ vers x, on trouve que

$v'_n(x_i)=\prod^{n}_{j=0,j \ne i}(x_i-x_j)$

D'où :

$L(x)=v_n(x) \sum_{i=0}^n \frac{y_i}{(x-x_i)v'_n(x_i)}$

Idée principale

Résoudre un problème d'interpolation conduit à inverser une matrice pleine de type matrice de Vandermonde. C'est un calcul lourd en nombre d'opérations. Les polynômes de Lagrange définissent une nouvelle base de polynômes qui permet de ne plus avoir une matrice pleine mais une matrice diagonale. Or, inverser une matrice diagonale est une opération instantanée.

Voir aussi

Interpolation polynomiale

Interpolation newtonienne

Interpolation de Berstein