Glossaire topologique

Ceci est un glossaire de quelques termes utilisés en topologie.

Ce glossaire est divisé en deux parties. La première traite des concepts généraux, et la seconde liste différents types d'espaces topologiques. Dans ce glossaire, tous les espaces sont supposés topologiques.

Sommaire

1 Généralités

2 Espaces topologiques

2.1 Axiomes de séparation
2.2 Compacité
2.3 Taille
2.4 Connexité
2.5 Divers

Généralités

Adhérence. l'adhérence d'une partie d'un ensemble est l'ensemble des points adhérents à cette partie. Un point est adhérent à une partie si tout ouvert contenant le point rencontre aussi cette partie. En topologie, l'adhérence se confond avec la fermeture. La fermeture d'une partie est l'intersection de tous les fermés qui le contiennent. C'est le plus petit fermé contenant cette partie.

Base d'ouverts. Un ensemble d'ouverts est une base pour une topologie si chaque ouvert de celle-ci est une union d'éléments de la base.

Base de voisinages : voir système fondamental de voisinages.

Boule. Dans un espace métrique, la boule de centre x et de rayon r est l'ensemble des points situés à une distance inférieure à r de x.

Continue. Une fonction d'un espace dans un autre est continue si l'image d'un point adhérent à une partie est nécessairement adhérente à l'image de cette partie. De façon équivalente, une fonction d'un espace dans un autre est continue si l'image réciproque de chaque ouvert est ouverte, ou si l'image réciproque de chaque fermé est fermée.

Dense. Une partie dense est une partie dont l'adhérence est l'espace tout entier.

Distance. Une distance définie sur un ensemble E est une application de E × E dans $\mathbb R$ telle que, pour tout x, y, z, d(x,y) = d(y,x), d(x,y) = 0 si et seulement si x=y et d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).

Espace à base dénombrable. Espace admettant une base dénombrable.

Espace métrique. Espace muni d'une distance.

Espace métrisable. Espace dont la topologie est définissable par une distance.

Fermé. Une partie est fermée si c'est le complémentaire d'un ouvert, ou si elle est égale à son adhérence.

Fonctionnellement séparés. Deux ensembles $A$ et $B$ sont fonctionnellement séparés s'il existe une fonction continue $f$ à valeur dans $[0,1]$ telle que $f (A) = {0}$ et $f (B) = {1}$ .

Fonctions homotopes. Deux fonctions continues $f,g : X \to Y$ sont homotopes s'il existe une fonction continue $H : X\times [0,1] \to Y$ telle que $\forall x \in X, H(x,0) = f(x) \quad H(x,1)=g(x)$ .
Frontière. La frontière d'une partie est son adhérence privée de son intérieur.

Homéomorphes. Deux espaces $X$ et $Y$ sont homéomorphes s'il existe une fonction bijective $f:X\to Y$ continue et de réciproque continue. Une telle fonction est appelée un homéomorphisme.

Intérieur. L'intérieur d'une partie est l'union de tous les ouverts qu'elle contient. C'est le plus grand ouvert contenu dans cette partie.

Localement fini. Une famille de parties d'un espace est dite localement finie si chaque point possède un voisinage qui ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de la famille.

Maigre. Une partie est maigre si elle est contenue dans une réunion de parties rares.

Ouvert. Dans un espace métrique, un ouvert est une partie U telle que, pour tout point x de U, il existe une boule de centre x incluse dans U. Dans un espace topologique quelconque, la topologie est précisément définie en donnant la famille des ensembles qui seront ouverts. Cette famille doit être stable par intersection finie, par réunion quelconque, et contenir l'ensemble vide et l'espace tout entier.

Partition de l'unité. Une partition de l'unité est un ensemble de fonctions continues à valeurs dans $[0,1]$ telles que chaque point possède un voisinage sur lequel toutes les fonctions sauf un nombre fini sont identiquement nulles et telle que la somme des fonctions soit identiquement égale à 1.

Prébase. Un ensemble d'ouverts est une prébase pour une topologie si l'ensemble des intersections finies d'éléments de cet ensemble est une base.

Raffinement. Un recouvrement $K$ est un raffinement du recouvrement $L$ si chaque élément de $K$ est inclus dans un élément de $L$ .

Rare. Une partie est rare si son adhérence est d'intérieur vide.

Recouvrement. Une famille $(U_i)_{i\in I}$ de parties est un recouvrement si leur union est l'espace tout entier. Un recouvrement ouvert est un recouvrement dont tous les éléments sont des ouverts.

Sous-recouvrement. Un recouvrement $K$ est un sous-recouvrement du recouvrement $L$ si chaque élément de $K$ appartient à $L$ .

Système fondamental de voisinages. Un ensemble $\mathcal V$ de voisinages d'un point $x$ est un système fondamental de voisinages si chaque voisinage de $x$ contient un élément de $\mathcal V$ .

Topologie. Donnée d'une famille d'ouverts sur un ensemble E.

Topologie discrète. Topologie dans laquelle tous les ensembles sont ouverts. C'est la plus fine de toutes les topologies.

Topologie grossière. Topologie dont les seuls ouverts sont l'ensemble vide et l'espace tout entier. C'est la moins fine de toutes les topologies.

Topologie induite. La topologie induite sur une partie A d'un espace topolpgique (E,T) est la moins fine rendant continue l'injection canonique $x \in A \rightarrow x \in E$ . Ses ouverts sont les intersections avec A des ouverts de E.

Topologie moins fine. La topologie T est moins fine que la topologie T' si tout ouvert de T est ouvert de T'. L'application identique de (E,T') dans (E,T) est continue.

Topologie plus fine. La topologie T est plus fine que la topologie T' si tout ouvert de T' est ouvert de T. L'application identique de (E,T) dans (E,T') est continue.

Topologie produit. Si (E_i ,T_i), i appartenant à I, est une famille d'espaces topologiques, la topologie produit définie sur $\prod_{i \in I}E_i$ est la moins fine rendant continue chaque projection $(x_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I}E_i \rightarrow x_i \in E_i$ . Une base d'ouverts est formée des $\prod_{i \in J}U_i \times \prod_{i \notin J}E_i$ , où J est une partie finie de I.

Topologie quotient. Si (E,T) est un espace topologique et R une relation d'équivalence sur E, la topologie quotient définie sur l'ensemble quotient E/R est la plus fine rendant continue la projection canonique, qui à x de E, associe sa classe d'équivalence dans E/R.

Valeur d'adhérence. Dans un espace métrique, une valeur d'adhérence d'une suite est la limite d'une sous-suite. C'est un point tel que tout voisinage de ce point contient une infinité de termes de la suite.

Voisinage. Un voisinage d'une partie $S$ d'un espace topologique $E$ est un ensemble contenant un ouvert contenant $S$ . Un voisinage d'un point $p$ est un voisinage du singleton ${p}$ .

Espaces topologiques

Les espaces topologiques peuvent être classés en fonction de la séparation entre leur points, de leur compacité, leur taille ou leur connexité.

Axiomes de séparation

Certains de ces termes sont définis autrement dans la littérature ancienne; voir Histoire des axiomes de séparation. (L'expression axiome de séparation en topologie ne doit pas être confondue avec l'axiome de séparation de la théorie des ensembles).

$T 0$ ou de Kolmogorov. Un espace est $T 0$ si pour tout couple de points, il existe un voisinage de l'un qui ne contient pas l'autre.

$T 1$ . Un espace est $T 1$ si tous ses singletons sont fermés. Pour tout couple de points, chacun d'eux possède un voisinage qui ne contient pas l'autre. En particulier, c'est un espace de Kolmogorov.

$T 2$ ou de Hausdorff ou séparé. Un espace est de Hausdorff si deux points différents admettent des voisinages disjoints. En particulier, c'est un espace $T 1$ .

$T 3$ ou régulier. Un espace est régulier si pour tout fermé $F$ et tout point $x \not\in F$ , $x$ et $F$ admettent des voisinages disjoints. Les espaces de Kolmogorov réguliers sont toujours de Hausdorff.

Tychonoff ou complétement régulier. Un espace de Hausdorff est de Tychonoff si pour tout fermé $F$ et tout point $x\not\in F$ , $F$ et ${x}$ sont fonctionnellement séparés. Les espaces de Tychonoff sont réguliers.

Faiblement normal. Espace complètement régulier dont on peut séparer par deux ouverts disjoints deux fermés disjoints dont l'un est dénombrable.

$T 4$ ou Normal. Un espace est espace normal si deux fermés disjoints possèdent des voisinages disjoints, lesquels sont alors fonctionnellement séparés d'après le lemme d'Urysohn. Les espaces normaux admettent des partitions de l'unité. Ils sont faiblement normaux. Les espaces $T 1$ normaux sont de Tychonoff.

Complètement normal. Espace séparé vérifiant : pour toutes parties A et B telles que l'adhérence de l'un n'intersecte pas l'autre, il existe deux ouverts U et V disjoints contenant respectivement A et B. Tout espace complètement normal est $T 4$

Parfaitement normal. Espace normal dans lequel tout fermé est une intersection dénombrable d'ouverts. Il est complètement normal.

Compacité

Un recouvrement ouvert est un ensemble d'ouverts tel que leur union recouvre l'espace.

Paracompact. Un espace est paracompact si tout recouvrement ouvert admet un raffinement localement fini. Les espaces de Hausdorff paracompacts sont normaux.

de Lindelöf. Un espace est de Lindelöf si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement dénombrable.

Quasi-compact. Un espace est quasi-compact si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini.

Compact. Un espace est compact s'il est quasi-compact et de Hausdorff.

(En terminologie anglophone, et parfois en terminologie francophone, le terme compact est utilisé pour ce qui est défini ici comme quasi-compact, et on parle de compact Hausdorff pour ce qui est défini ici comme compact.)

Localement compact. Un espace est localement compact si chaque point admet un système fondamental de voisinages compacts. Les espaces de Hausdorff localement compacts sont de Tychonoff.

Relativement compact. Un espace est relativement compact lorsque son adhérence est compacte.

Taille

Un espace est séparable s'il admet une partie dense dénombrable.

Connexité

Connexe. Un espace est connexe s'il n'est pas l'union disjointe de deux ouverts non vides.

Localement connexe. Un espace est localement connexe si chaque point admet un système fondamental de voisinages connexes.

Composante connexe. La composante connexe contenant un point est le plus grand ensemble connexe contenant ce point. C'est l'union de tous les ensembles connexes contenant ce point.

Totalement discontinu. Un espace est totalement discontinu s'il n'admet pas de composante connexe contenant plus d'un élément.

Connexe par arcs. Un espace $X$ est connexe par arcs si pour tout couple de points $(x,y)\in X^2$ , il existe un chemin de $x$ à $y$ , c'est-à-dire une fonction continue $p:[0,1]\to X$ telle que $p(0)=x \quad p(1)=y$ . Un espace connexe par arcs est connexe. Un ouvert métrique est connexe par arcs si et seulement s’il est connexe.

Localement connexe par arcs. Un espace est localement connexe par arcs si chaque point admet un voisinage connexe par arcs. Un espace localement connexe par arcs est connexe si et seulement s’il est connexe par arcs.

Simplement connexe. Un espace est simplement connexe s'il est connexe par arcs et si toute fonction continue $f:S^1 \to X$ est homotope à une fonction constante.

Contractile. Un espace $X$ est contractile si la fonction identité de $X$ est homotope à une fonction constante. Les espaces contractiles sont toujours simplement connexes.

Divers

Métrisable. Un espace est métrisable s'il est homéomorphe à un espace métrique. Les espaces métrisables sont toujours de Hausdorff et paracompacts (et, conséquemment, normaux et de Tychonoff). Un espace à base dénombrable est métrisable si et seulement s'il est régulier d'après le théorème d'Urysohn.

Localement métrisable. Un espace est localement métrisable si chaque point admet un voisinage métrisable.

Homogène. Un espace $X$ est homogène si pour tout couple de points $(x,y)\in X^2$ , il existe un homéomorphisme de $X$ sur $X$ qui envoie $x$ sur $y$ . Tous les groupes topologiques ; en particulier, les espaces vectoriels topologiques sont homogènes.