Intégrales de Wallis

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Définition

n\,\in \mathbb N,\quad I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(x)\,dx

Une intégration par parties permet d'établir la relation de récurrence

n \ge 2,\quad nI_n = (n-1)I_{n-2}\,


Ces intégrales permettent d'obtenir le produit de Wallis donnant une valeur de π / 2 en tant que produit infini. De plus, ces intégrales conduisent à la formule de Stirling exprimant la valeur asymptotique de n!\, en fonction de e et π.

See also: Intégrales de Wallis, E, Formule de Stirling, Intégration par parties, John Wallis, Mathématiques, Pi