Injection

Une fonction f: X → Y est dite injective ou est une injection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y il existe au plus un élément x dans l'ensemble de définition X tel que f(x) = y. De manière équivalente, pour tous x et x' dans X, si f(x) = f(x'), alors x = x'.

Lorsque X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle , alors une fonction injective a un graphe qui intersecte toute droite horizontale en au plus un point.

Exemple concret

Prenons le cas d'une station de vacances. Il y correspond l'application d'un certain ensemble de touristes sur un certain nombre de chambres d'hôtel :

• Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chaque touriste ait une chambre individuelle.
• L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée.
• Ces desiderata n'ont rien d'incompatible, et l'application sera dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, et qu'en d'autres termes chaque touriste a sa chambre et chaque chambre son touriste.

Exemples et contre-exemples

Considérons la fonction définie par f(x) = 2x + 1. Cette fonction est injective, puisque pour tous nombres réels arbitraires x et x', si 2x + 1 = 2x' + 1, alors 2x = 2x', soit x = x'.

D'un autre côté, la fonction définie par g(x) = x² n'est pas injective, parce que (par exemple) g(1) = 1 = g(−1).

D'autre part, si nous définissons la fonction par la même relation que g, mais avec l'ensemble de définition restreint à l'ensemble des réels positifs, alors la fonction h est injective. Une explication est que, pour des réels positifs arbitraires donnés x et x', si x² = x'², alors |x| = |x'|, ainsi x = x'.

Propriétés

• Une fonction f: X → Y est injective si et seulement si X est l'ensemble vide ou il existe une fonction g: Y → X telle que g ^o f  soit égale à l'application identique sur X.
• Une fonction est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective.
• Si g ^o f est injective, alors f est injective.
• Si f et g sont toutes les deux injectives, alors g ^o f est injective.
• f: X → Y est injective si et seulement si, pour toutes fonctions données g,h: W → X, lorsque f ^o g = f ^o h, alors g = h. En d'autres termes, les fonctions injectives sont précisément les monomorphismes de la catégorie des ensembles.
• Si f: X → Y est injective et A est un sous-ensemble de X, alors f ⁻¹(f(A)) = A. Ainsi, A peut être retrouvé à partir de l'image réciproque de f(A).
• Si f: X → Y est injective et A et B sont des sous-ensembles de X, alors f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
• Toute fonction h: W → Y peut être décomposée comme h = f ^o g pour une injection f et une surjection g convenables. Cette décomposition est unique à un isomorphisme près, et f peut être considérée comme la fonction inclusion de l'image de h, h(W) dans un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée Y de h.
• Si f : X → Y est une fonction injective, alors Y a au moins autant d'éléments que X, au sens des cardinaux.
• Si on note la propriété « il existe une injection de l'ensemble E dans l'ensemble F», alors vérifie les propriétés d'une relation d'ordre sur les cardinaux (on ne peut pas dire néanmoins que est une relation, car elle est définie sur une classe et non sur un ensemble, en vertu du Paradoxe de Russell). La réflexivité et la transitivité ont été traitées au cours des exemples précédents, et l'antisymétrie est l'objet du Théorème de Cantor-Bernstein.

Voir aussi: Surjection, Bijection

See also: Injection, Application identique, Bijection, Cardinalité, Classe (mathématiques), Ensemble d'arrivée, Ensemble de définition, Ensemble vide, Fonction et application, Image réciproque