Infinitésimal

Sommaire

1 Groupe

2 Anneau

3 Corps

4 Remarque

5 Exemples

5.1 Exemple 1
5.2 Exemple 2

Groupe

Soit (G,+,≤) un groupe commutatif totalement ordonné.

(G,+,≤) vérifie l'axiome d'Archimède ou est archimédien si et seulement si :

quels que soient les éléments a > 0 et b ≥ 0 de G , il existe un entier naturel n tel que n × a ≥ b .

Anneau

Soit (A,+,×,≤ ) un anneau totalement ordonné.

(A,+,×,≤) vérifie l'axiome d'Archimède ou est archimédien si et seulement si le groupe commutatif (A,+,≤) lui-même est archimédien.

Corps

Soit (K,+,×,≤) un corps totalement ordonné.

(K,+,×,≤) vérifie l'axiome d'Archimède ou est archimédien si et seulement si le groupe commutatif (K,+,≤) lui-même est archimédien.

Remarque

Cet axiome intervient également comme l'axiome IV,1 du « groupe IV de continuité » dans l'axiomatique de la géométrie euclidienne
proposée par Hilbert en 1899.

Exemples

Exemple 1

( $\mathbb Q$ ,+,×,≤) et ( $\mathbb R$ ,+,×,≤) sont des corps archimédiens.

Exemple 2

Voici un exemple d'anneau non archimédien. Considérons l'anneau $\mathbb R[X]$ des polynômes sur $\mathbb R$ . Un polynôme
$\ P = \sum_{n} a_n \cdot X^n$ est caractérisé par la suite de ses coefficients (a₀, ..., a_n, ...), nulle à partir d'un certain rang.
Si le polynôme Q admet pour coefficients (b₀, ..., b_n, ...), nous dirons que :

P < Q si et seulement s’il existe k ≥ 0 tel que, pour tout p < k, a_p = b_p et a_k < b_k

P ≤ Q si et seulement si P < Q ou P = Q

(Il s'agit de l'ordre lexicographique sur les coefficients des polynômes).

Alors ( $\mathbb R[X]$ ,+,×,≤) est un anneau totalement ordonné, mais qui n'est pas archimédien. En effet, pour tout n entier, on a 0 < nX < 1.

Pour l'ordre indiqué, X est un « infiniment petit ».