Inégalité de Hölder

En analyse, l’inégalité de Hölder, du nom de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces L^p: soit S un espace mesuré, soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, soit f une fonction de L^p(S) et g dans L^q(S). Alors fg appartient à L¹(S) et

$\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.$

En considérant S comme l’ensemble {1,...,n} avec la mesure de dénombrement, nous obtenons un cas particulier de l’inégalité :

$\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}$

valable pour tous réels (ou nombres complexes) x₁,...,x_n, y₁,...,y_n.

En considérant S comme l’ensemble des entiers naturels avec la mesure de dénombrement, nous obtenons une inégalité similaire pour les séries.

Pour p = q = 2, nous obtenons l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

L’inégalité de Hölder est utilisée pour démontrer l' inégalité du triangle dans l’espace L^p, parfois appelée inégalité de Minkowski et aussi pour établir que L^p est le dual de L^q.

Inégalité de Hölder

See also: Inégalité de Hölder, Analyse, Espace dual, Inégalité de Cauchy-Schwarz, Nombre complexe, Série, Inégalité du triangle, Inégalité de Minkowski, Mesure de dénombrement, Otto Hölder