Inégalité de Cauchy-Schwarz

En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, se rencontre dans de nombreux domaines tels que l'algèbre linéaire avec les vecteurs, l'analyse avec les séries et en intégration avec les intégrales de produits. L'inégalité s'énonce de la façon suivante :

pour tous x et y éléments d'un espace préhilbertien réel ou complexe, |\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle

Les deux côtés sont égaux si et seulement si x et y sont linéairement dépendants.

Une conséquence importante de l'inégalité de Cauchy-Schwarz est que le produit scalaire est une fonction continue.

Formulée dans l'espace euclidien \mathbb R ^n, nous obtenons

\left ( \sum_{i=1}^n x_{i}y_{i} \right)^{2} \le \sum_{i=1}^n x_{i}^{2} \cdot \sum_{i=1}^n y_{i}^{2}

Dans le cas des fonctions à valeurs complexes de carré intégrable, nous obtenons

\left|\int \overline{f}. g \textrm{d}x\right|^2 \leq \left( \int |f|^2\textrm{d}x\right). \left( \int |g|^2 \textrm{d}x\right)

Ces deux dernières formulations sont généralisées par l'inégalité de Hölder.

See also: Inégalité de Cauchy-Schwarz, Algèbre linéaire, Analyse (mathématiques), Continuité, Espace euclidien, Espace préhilbertien, Fonction (mathématiques), Intégration, Inégalité de Hölder, Mathématiques