Incomplétude
L’incomplétude des principes des mathématiques se manifeste par plusieurs théorèmes. Ils sont tous étroitement reliés au paradoxe du menteur.
| Sommaire |
Le paradoxe du menteur
Les prédicats de vérité et le théorème d’incomplétude de Tarski
Les prédicats de prouvabilité et le théorème d'incomplétude de Gödel
L’indécidabilité
- Le problème de la décision
- Enoncés, ensembles et problèmes indécidables
- La théorie des systèmes formels
- Le problème de l'arrêt
Un théorème général sur l’incomplétude de la prouvabilité
Toute théorie mathématique suffisamment riche n’est jamais capable de prouver toutes ses vérités.
On définit ici suffisamment riche par les conditions suivantes.
a) la théorie T permet de définir un ensemble indécidable
b) à partir de deux ensembles déjà définis E et F, T permet de définir le complémentaire de F dans E, E Moins F, ou ensemble différence de E et F, c’est-à-dire la partie de E qui ne contient aucun élément de F.
Si E est l’ensemble de toutes les expressions formelles et F un ensemble indécidable alors E Moins F, ou F, n’est pas énumérable. Comme l’ensemble des formules prouvables de T est énumérable, il y a des vérités d’appartenance à cet ensemble non-énumérable qui ne sont pas prouvables.
On peut voir ce théorème comme une généralisation du premier théorème d’incomplétude de Gödel. Les conditions a et b sont remplies par l’arithmétique formelle mais la preuve est un peu difficile et ne sera pas présentée ici.
L’incomplétude ontologique
Où sont les axiomes manquants ?
Si on ne peut pas prouver toutes les vérités, c’est qu’il manque des axiomes. Quels sont-ils ? Jusqu’ici on a seulement prouvé que des théories sont incomplètes mais on n’a pas dit pourquoi. Il semble également assez mystérieux que ces théories résistent toujours aux tentatives de complétude. Quelle que soit la façon dont on les complète avec de nouveaux axiomes elles restent incomplètes. Même si on se donne des axiomes en nombre infini elles restent incomplètes, dès que ces axiomes sont déterminés par des règles explicites et univoques. Qu’est-ce qui manque ? Qu’est-ce qui rend la complétude inaccessible à nos esprits finis ?
Il semble intuitivement très plausible que les incomplétudes de la prouvabilité axiomatique et de l’ontologie sont étroitement liées. Ce qui suit peut être considéré comme presqu’évident, mais il faut le prouver.
L’incomplétude mathématique est essentiellement ontologique. Les théories axiomatiques ne permettent jamais de prouver toutes leurs vérités parce que leur ontologie est toujours limitée. Elles n’ont jamais assez d’axiomes d’existence. Elles ne permettent jamais de définir assez d’ensembles, de prédicats ou de concepts pour formaliser toutes les preuves concevables. On ne peut pas donner un nombre fini de règles qui suffise pour établir l’existence de tous les êtres imaginables, c’est-à-dire tous les êtres qui ont le droit d’exister au yeux des mathématiciens.
L’imagination déborde tous les cadres.