Implication logique
En mathématiques, une propositon P implique logiquement une proposition Q, si la proposition ¬P∨Q est vraie, et nous écrivons :
- P⇒Q
ce qui se lit « P implique Q »
« ⇒ » s’appelle connecteur d’implication.
« P⇒Q » s’appelle une implication logique.
La table de vérité de l’implication est donnée par le tableau :
| P | Q | P ⇒ Q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Dans le langage naturel, pour traduire que P implique Q, nous dirons indifféremment :
- P entraîne Q
- P est une condition suffisante de Q
- Q est une condition nécessaire de P
- Pour que Q soit vraie il suffit que P soit vraie
- Pour que P soit vraie il faut que Q soit vraie
Mais attention « P implique Q », ne signifie pas que « Q est une conséquence logique de P ».
« P⇒Q » est vraie d'après la table de vérité si P est fausse et Q vraie. Par exemple l’implication :
- (0=1) ⇒ (0=0)
est vraie, mais (0=0) ne se déduit pas de (0=1) qui est fausse.
Mais la table de vérité, montre que si P est vraie alors pour que l’implication P⇒Q soit vraie il faut que Q soit vraie. Dans la pratique, nous démontrons une implication comme cela.
En fait la déduction directe de Q à partir de P est représentée par l’implication toujours vraie (tautologie):
- (P et (P⇒Q)) ⇒Q
Si dans certaines conditions, P est vraie ainsi que P⇒Q, alors l’implication précédente montre que Q est vraie.
Ajoutons que d’autres formulations de la langue française représentent des implications :
- « Si… alors… »
- « … donc… »
- « … d’où… »
- « … ainsi… »
- « de…, nous déduisons que… »
- « … par conséquent… »
D’autre part si P est fausse alors l’implication P⇒Q est vraie ; et donc toutes les implications que nous écrirons à partir d’une proposition fausse seront vraies !! (« on dit d'ailleurs qu’à partir du faux on peut démontrer n’importe quoi »)
Par exemple :
« 4 est divisible par 3 implique 4=3 » est une implication vraie
« Louis XVI était hollandais implique 0=0 » est vraie
En fait, l’implication P⇒Q est fausse si et seulement si P est vraie et Q est fausse.
| Sommaire |
Propriétés
Soient P, Q et R trois propositions.
- P ⇒P (l’implication est réflexive)
- ((P ⇒Q ) ∧ (Q⇒R )) ⇒ (P ⇒ R ) (transitivité de l'implication)
- (¬(P ⇒ Q )) ⇔ (P ∧ (¬Q )) (négation d'une implication)
- (P ∧ (P ⇒ Q )) ⇒ Q (règle de déduction directe ou du détachement)
- (P ⇒ Q ) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P ) (loi de contraposition)
une implication est équivalente à sa contraposée
- (P ⇔ Q ) ⇔ ((P ⇒ Q ) ∧ (Q ⇒ P )) (loi de réciprocité)
- ((P ou Q) ∧ (P ⇒ R ) ∧ (Q ⇒ R )) ⇒ R (disjonction des cas)
L’implication n’est pas associative
Soient P, Q et R trois propositions.
- ((P ⇒ Q ) ⇒ R ) ⇎ (P ⇒ (Q ⇒ R ))
En effet le premier terme énonce qu'une implication implique R alors que le second énonce que P implique une implication.
Donnons un contre-exemple:
Considérons les trois propositions suivantes :
- P: (-1=0)
- Q: (0=0)
- R: (0=1)
La proposition P ⇒ Q est vraie puisque Q est vraie, et comme R est fausse, la proposition (P ⇒Q) ⇒ R est fausse.
La proposition Q est vraie et la proposition R est fausse donc l’implication (Q ⇒ R) est fausse et comme P est fausse, l’implication P ⇒( Q ⇒ R ) est vraie.
Nous en déduisons qu’en général les propositions P ⇒( Q ⇒ R ) et (P ⇒Q) ⇒ R ne sont pas équivalentes et donc l’implication n’est pas associative.
Il nous est donc impossible d’écrire des chaînes d’implications de la forme :
- P1 ⇒ P2 ⇒ P3 ⇒ … ⇒ Pn-1 ⇒ Pn
C’est la raison pour laquelle, nous disposons dans la pratique, les implications de cette façon :
| P1 | ⇒ | P2 |
| ⇒ | P3 | |
| ... | ... | |
| ⇒ | Pn |
ce qui signifie que les implications :
- P1 ⇒ P2, ..., Pn-1 ⇒ Pn
sont vraies, et nous utilisons la transitivité de l’implication pour démontrer que:
- P1 ⇒ Pn.
Remarque
Dans une théorie mathématique, les implications P ⇒ Q vraies démontrées à partir des axiomes sont appelées théorèmes.
Démontrer un théorème, c’est établir qu’une proposition de la forme P ⇒ Q est une assertion vraie (dans la théorie).
Pour démontrer de tels théorèmes, il existe plusieurs types de raisonnements possibles, basés sur les propriétés précédentes de l’implication :
- la déduction directe
- la déduction par exclusion (ou incompatibilité)
- le raisonnement par contraposée (aussi le raisonnement par l’absurde)
Quelques exemples
| ∀ x∈ ℝ, ∀ y∈ ℝ, | x2=y2 | ⇒ | (x-y)(x+y)="0" |
| ⇒ | (x="y") ∨ (x=-y) |
| ∀ x∈ ℝ+, | (x+2)2⩾4 | ⇒ | x+2⩾2 | car x+2⩾0 |
| et la racine carrée est croissante sur ℝ+ |