Image réciproque

Si f:X\rightarrow Y est une application d'un ensemble X dans un ensemble Y, et si B est un sous-ensemble de Y, alors nous définissons son image réciproque comme le sous-ensemble de X constitué des éléments qui ont une image par f dans B :

f^{-1}(B) = \{x \in X / f(x)\in B\}.

Considérons l'application f:\{1, 2, 3\}\rightarrow \{a, b, c, d\}, définie par

1\mapsto a, \quad 2\mapsto c, \quad 3\mapsto d

L'image réciproque de {a,b} par f est f − 1({a,b}) = {1}.

Notons qu'avec cette définition, f-1 devient une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble de toutes les parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Quelques conséquences immédiates de la définition:

f^{-1}\left(B_1 \cup B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2).
f^{-1}\left(B_1 \cap B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2).
\forall B\subset Y, f(f^{-1}(B)) = B \Leftrightarrow f \ {\rm surjective}
\forall A\subset X, A = f^{-1}(f(A)) \Leftrightarrow f \ {\rm injective}
f^{-1}\left(A\backslash B\right)=f^{-1}(A)\backslash f^{-1}(B)
f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)= \bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i)
f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}B_i\right)= \bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)

Nous disons en général qu' « avec l'image réciproque tout est possible ».

Voir aussi Image directe

See also: Image réciproque, Image directe