Image directe

Si $f:X\rightarrow Y$ est une fonction d'un ensemble X dans un ensemble Y et A un sous-ensemble de X, alors l'image directe de A par f est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui sont image par f d'au moins un élément de A :

$f(A) = \{f(x) / x \in A\}$ ,

ou $f(A) = \{y \in Y / \exists a \in A, y=f(a)\}$ .

Si A=X, alors f(X) est appelée l'image de f.

On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie de X, avec l'image par f d'un élément x de X.

Considérons l'application $f:\{1, 2, 3\}\rightarrow \{a, b, c, d\}$ , définie par

$1\mapsto a, \quad 2\mapsto c, \quad 3\mapsto d$

L'image directe de {2,3} par f est f({2,3})={c,d} et l'image de f est {a,c,d}.

Quelques conséquences immédiates de la définition:

pour toutes parties A₁ et A₂ de X,

$f\left(A_1 \cup A_2\right) = f(A_1) \cup f(A_2)$

$f\left(A_1 \cap A_2\right) \subset f(A_1) \cap f(A_2)$

l'inclusion dans l'autre sens est fausse en général

$\forall A_1 \subset X, \forall A_2 \subset X, f\left(A_1 \cap A_2\right) = f(A_1) \cap f(A_2) \Leftrightarrow f\ {\rm injective}$ .

pour toute partie B de Y, $f(f^{-1}(B)) \subset B$ .

$\forall B \subset Y, f(f^{-1}(B)) = B \Leftrightarrow f \ {\rm surjective}$ .

pour toute partie A de X, $A\subset f^{-1}(f(A))$

$\forall A \subset X, A = f^{-1}(f(A)) \Leftrightarrow f \ {\rm injective}$ .

Pour toute famille $\left(A_i\right)_{i\in I}$ de parties de X,

$f\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\subset \bigcap_{i\in I}f(A_i)$

Pour toute famille $\left(A_i\right)_{i\in I}$ de parties de X,

$f\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)= \bigcup_{i\in I}f(A_i)$

Voir aussi Image réciproque

Image directe

See also: Image directe, Image réciproque