Identités logarithmiques

Voici une liste d'identités utiles lorsqu'on travaille avec les logarithmes. Toutes sont valables à condition que les réels utilisés (a, b, et c) soient strictement positifs. En outre, ceux de ces nombres qui sont en indice(base d'un logarithme) doivent être différents de 1.

Sommaire

1 Valeurs particulières

2 Multiplication, division et exponentiation

3 Les applications logarithme et exponentielle sont réciproques

4 Formule de changement de base

5 Limites

6 Dérivée

7 Primitive

Valeurs particulières

log_a(1) = 0
log_a(a) = 1

Multiplication, division et exponentiation

log_c(ab) = log_ca + log_cb
log_c(a/b) = log_ca - log_cb
pour tout nombre réel r, log_c(a^r) = r. log_c(a)

Ces trois identités nous permettent d'utiliser des tables de logarithme et des règles à calcul; connaissant le logarithme de deux nombres, nous pouvons les multiplier et diviser rapidement, ou aussi bien calculer des puissances ou des racines de ceux-ci.

Les applications logarithme et exponentielle sont réciproques

a^log_a(b) = b

pour tout nombre réel r, log_a (a^r) = r

Les formules précédentes sont utilisées pour résoudre des équations dont les inconnues sont en exposant.

Formule de changement de base

log_ab = (log_cb)/(log_ca)

Cette identité est utile pour calculer des logarithmes avec des machines à calculer. Par exemple, la plupart des calculatrices ont une touche ln et une autre log₁₀, mais pas de touche log₂. Pour déterminer log₂(100), vous pouvez calculer log₁₀(100) / log₁₀(2) (ou ln(10)/ln(2), ce qui revient au même).

Limites

lim_x→0 log_a(x) = -∞ pour a > 1

lim_x→0 log_a(x) = ∞ pour a < 1

lim_x→∞ log_a(x) = ∞ pour a > 1

lim_x→∞ log_a(x) = -∞ pour a < 1

lim_x→0 log_a(x). x^b = 0

lim_x→∞ log_a(x) / x^b = 0

La dernière limite est souvent interprétée comme «en l'infini le logarithme croît plus lentement que toute puissance (strictement positive) de la variable».

Dérivée

d/dx log_a(x) = 1 / (x ln(a))

Primitive

∫ log_a(x)dx = x .[ log_a(x) - log_a(e) ]