Hyperplan

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Les hyperplans sont définis dans la théorie des espaces vectoriels.

Sommaire

1 Définition

2 Caractérisation

3 Lien avec les formes linéaires

4 Exemples

5 Représentation des sous-espaces

Définition

Soit E un K-espace vectoriel et H un sous-espace de E.

On dit que H est un hyperplan de E si H est de codimension 1.

Dans un espace de dimension finie n, les hyperplans sont donc les sous-espaces de dimension n-1.

Dans $\mathbb{R}^3 \,\!$ , la notion d'hyperplan est confondue avec celle de plan, mais ce n'est plus vrai quand la dimension de l'espace est supérieure à 3.

Caractérisation

On montre l'équivalence des propriétés suivantes :

$H$ est un hyperplan

Il existe une droite $D$ telle que $E=H \oplus D \,$

$\forall e \in E\backslash H, E=H \oplus \mathbb K e$

Lien avec les formes linéaires

On montre que le noyau $\ker \phi \,\!$ d'une forme linéaire non nulle, $\phi \in E^*\backslash\{0\} \;\!$ est un hyperplan de E. Réciproquement, tout hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle.

Interprétation de ce résultat dans le R-espace vectoriel $\mathbb{R}^3 \,\!$ :

Toutes les formes linéaires sur $\mathbb{R}^3 \,\!$ peuvent s'écrire sous la forme suivante : $\phi : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, (x,y,z) \mapsto ax+by+cz \,\!$ avec $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \,\!$ fixé. Le résultat précédent nous indique que tout hyperplan de $\mathbb{R}^3 \,\!$ peut s'écrire comme le noyau d'une forme linéaire. Autrement dit $H=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / \phi(x,y,z) = ax+by+cz=0\} \, \!$

Ce lien entre hyperplan et noyau d'une forme linéaire exprime en fait la notion d'équation d'un hyperplan.

Exemples

a) Soit $E=\mathcal M_n(\mathbb K) \,$ l'ensemble des matrices carrées de dimension n à coefficients dans $\mathbb K \,$ .

L'ensemble des matrices de trace nulle $H=\{A \in E\, / \, Tr A =0\} \,$ est un hyperplan de E.

b) $E=\mathbb K[X] \,$ l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée. L'ensemble des polynômes divisibles par X: $H=\{P \in E\, / \, P(0)=0\}$ est un hyperplan de E.

Pour ces deux exemples, la démonstration est immédiate en utilisant le résultat sur les formes linéaires: le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan.

Représentation des sous-espaces

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie. On peut représenter ce sous-espace comme une intersection finie d'hyperplans indépendants. Ce théorème est détaillé dans l'article espace dual.