Groupe (mathématiques)

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre abstraite, la notion de groupe est une abstraction des opérations naturelles, telles que l'addition, la multiplication, ou la composition, lorsqu'elles sont inversibles. Cette notion permet de modéliser des situations qui se retrouvent dans beaucoup de disciplines, non seulement en mathématiques, mais aussi en chimie et physique.

Sommaire

1 Définitions

2 Commutativité

3 Conventions

4 Exemples

5 Sous-groupe

6 Exponentiation par un entier, ordre d'un élément

6.1 Définition de l'exponentiation
6.2 Ordre d'un élément
6.3 Exemples

7 Histoire

8 Voir aussi

Définitions

La structure algébrique d'un groupe est un monoïde dont tous les éléments sont inversibles ; c'est-à-dire que c'est un ensemble $\mathcal{G}$ muni d'une loi de composition interne $\star$ qui satisfait les axiomes suivants:

identité : il existe un élément $e$ , dit neutre (nécessairement unique), tel que $\forall g \in \mathcal{G}, g \star e = e\star g = g$ ;
inverse : $\forall g \in \mathcal{G}, \exists g' \in \mathcal{G}, g \star g' = g' \star g = e$ , g' est dit inverse de g et on le note aussi $g - 1$ ;
associativité : $\forall g, g', g'' \in \mathcal{G}, g \star (g'\star g'') = (g\star g')\star g''$ .

Lorsque G est un ensemble fini, on dit que G est un groupe fini ; sinon on dit que G est un groupe infini. Pour un groupe fini, l'ordre de ce groupe est le nombre de ses éléments.

En terme de variété équationelle, un groupe est une donnée $(\mathcal{G},\star,e,f)$ (où G est un ensemble non-vide, $\star$ une loi de composition interne de $\mathcal{G}$ , e un élément de G et f une application de G dans G) soumise aux axiomes suivants :

$\forall g \in \mathcal{G}, g\star e = e\star g = g$ ;
$\forall g \in \mathcal{G}, g \star f(g) = f(g) \star g = e$ ;
$\forall g, g', g'' \in \mathcal{G}, g \star (g'\star g'') = (g\star g')\star g''$ .

Commutativité

Si deux éléments g et g' d'un groupe G vérifient $g\star g'=g'\star g$ , on dit alors qu'ils commutent.

Si en plus l'opération $\star$ est commutative, c'est-à-dire si tous les éléments du groupe commutent entre eux, le groupe lui-même est dit commutatif, ou abélien.

Attention : en général, les groupes ne vérifient pas cette propriété ! Il faut donc prendre garde à l'ordre dans lequel on écrit les produits !

Conventions

L'ensemble et le groupe lui-même sont le plus souvent confondus, et tous les deux notés par le même symbole, en négligeant de préciser de quelle loi de groupe on parle (le contexte est souvent assez explicite).

Pour un groupe en général, la loi est souvent notée comme une multiplication ; c'est-à-dire en écrivant $g g'$ , $g . g'$ ou $g\cdot g'$ pour $g\star g'$ , ce qui est plus léger. Dans ce cas, on note aussi 1 l'élément neutre.

Cependant quand le groupe est abélien, on préfère noter la loi + et l'élément neutre 0. Noter un groupe non-commutatif avec une loi + est un interdit tacite.

Exemples

les entiers relatifs (ensemble $\mathbb{Z}$ ) forment un groupe pour l'addition ;
les permutations d'un ensemble forment un groupe pour la composition ;
lorsqu'on a un groupe, on peut en construire un autre en considérant ses automorphismes, qui forment un groupe pour la composition ;
plus généralement, les automorphismes d'une structure algébrique forment un groupe pour la composition ;
l'ensemble des matrices carrées (de taille donnée) muni de l'addition ;
l'ensemble des matrices carrées (de taille donnée) inversibles muni de la multiplication ;
l'ensemble des matrices carrées, orthogonales muni de la multiplication ;
l'ensemble des isométries du plan (ou d'un quelconque espace affine euclidien) muni de la loi de composition.

Contre-exemples :

$\mathbb{N}$ muni de l'addition (les inverses des éléments de $\mathbb{N}$ ne sont pas dans $\mathbb{N}$ );
l'ensemble des matrices carrées muni de la multiplication (toutes les matrices ne sont pas inversibles);
l'ensemble des homothéties du plan muni de la composition (les homothéties de rapport zéro ne sont pas inversibles);

Ces trois derniers exemples sont des monoïdes et pas des groupes, par lacune de l'inversibilité.

Sous-groupe

Un sous-groupe d'un groupe G est un sous-ensemble H de G qui est un groupe pour l'opération qu'il hérite de G. On note parfois H<G. On montre aisément qu'un sous-ensemble H d'un groupe G est un sous-groupe si, et seulement si, il est non-vide et stable par l'opération et l'inverse : $\forall x,y \in \mathcal{H}, x\star y^{-1} \in \mathcal{H}$ .

Exponentiation par un entier, ordre d'un élément

Définition de l'exponentiation

On peut définir une loi externe des entiers relatifs sur tout groupe, de la façon suivante : étant donnés n un entier relatif, et g un élément d'un groupe (G,∗,1), on pose :

$g^n = g\star g\star \ldots \star g$ (où g apparaît n fois à droite) si n>0,
$g n = (g - n) - 1$ si $n < 0$ , et
$g 0 = 1$ .

Il faut noter que cette nouvelle notation est compatible avec la notation pour l'inverse d'un élément.

Cette exponentiation vérifie les propriétés suivantes: $\forall m,n \in \mathbb{Z}, \forall g \in \mathcal{G}$ :

$g^{m+n} = g^n \star g^m$ ;
$(g m) n = g m n$ .

Attention : on n'a $(g\star g')^n = g^n \star g'^n$ pour tous $g, g' \in \mathcal{G}, n \in \mathbb{Z}$ que si le groupe est commutatif. Cependant, si g et g' commutent, on a bien $(g\star g')^n = g^n \star g'^n$ pour tous $n \in \mathbb{Z}$ .

On dit d'un élément g d'un groupe qu'il est nilpotent s'il existe un entier non nul n tel que $g n = 1$ .

Ordre d'un élément

Si on se fixe $g \in \mathcal{G}$ , cette loi externe, avec ses propriétés, permet de définir un morphisme de groupes : $\mathbb{Z}\rightarrow \mathcal{G}$ , via : $n \mapsto g^n$ . Le noyau de ce morphisme est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$ , de la forme $o\mathbb{Z}$ (petit o, et non zéro), avec $o \in \mathbb{N}$ ; si cet entier o est nul on dit que g est d'ordre infini, sinon on dit qu'il est d'ordre o.

Exemples

0 est d'ordre 1 dans $\mathbb Z$ (de manière générale, le seul élément d'ordre 1 est l'élément neutre !!) ;
1 est d'ordre infini dans $\mathbb Z$ ;
1 est d'ordre n dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$ ;
une involution non-triviale (différente de l'élément neutre) est d'ordre 2.

Histoire

Une des origines de l'idée de groupe est l'étude des équations algébriques par Joseph-Louis Lagrange (1771). La terminologie de « groupe » est mise en évidence pour la première fois par Évariste Galois (1830) : on peut « grouper » les automorphismes du corps de décomposition d'un polynôme séparable. L'idée de groupe tient aussi ses sources de l'étude de nouvelles géométries, Felix Klein (1872), et de la théorie des nombres : Euler, Carl Friedrich Gauss.

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Définitions

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Exemples

Sous-groupe

Exponentiation par un entier, ordre d'un élément

Définition de l'exponentiation

Ordre d'un élément

Exemples

Histoire

Voir aussi

See also: Groupe (mathématiques), Action de groupe, Addition, Algèbre abstraite, Application, Associativité, Automorphisme, Carl Friedrich Gauss, Composition, Entier relatif