Géométrie projective
| Image manquante Math.png | Cet article est une ébauche concernant les mathématiques, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant. |
La géométrie projective, ou descriptive, est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle a d'abord été imaginée au XVIIe siècle par des mathématiciens comme Pascal ou Desargues, avant de tomber dans l'oubli jusqu'à sa redécouverte par Poncelet, et sa remise au goût du jour par Felix Klein à la fin du XIXe siècle. Elle est aujourd'hui largement utilisée par les systèmes de visualisation sur ordinateur GL et OpenGL.
| Sommaire |
|
1.1 Définition |
Espaces projectifs
Un espace projectif est défini en mathématiques comme l'ensemble des droites vectorielles d'un espace vectoriel ; on peut imaginer l'œil d'un observateur placé sur l'origine d'une espace vectoriel, et chaque élément de l'espace projectif correspond à une direction de son regard.
Un espace projectif se démarque d'un espace vectoriel par son homogénéité : on ne peut distinguer en son sein aucun point particulier comme l'origine d'un espace vectoriel. En cela il se rapproche d'un espace affine.
Définition
Soit 
un K-espace vectoriel (K est le corps 
ou le corps 
), non réduit à {0}. On définit sur 
la relation d'équivalence suivante :
.
Alors on appelle espace projectif sur l'ensemble-quotient de par la relation d'équivalence 
:
.
Pour chaqué élément 
de on notera 
sa classe d'équivalence :
.
On a donc : 
si et seulement si 
et 
sont colinéaires.
L'application 
est appelée projection canonique'.
Plus simplement l'espace projectif 
est l'ensemble des droites vectorielles de ; l'élément 
de l'espace projectif est la droite vectorielle de dont un vecteur directeur est .
Si est de dimension finie 
alors on dit que est de dimension finie et on note 
la dimension de l'espace projectif. En particulier :
- Si n=1 alors est un singleton (dimension nulle) ;
- Si n=2 alors est un plan vectoriel et est appelé droite projective.
- Si n=3 alors est appelé plan projectif ; c'est le cadre le plus courant pour faire de la géométrie.
Si l'espace est l'espace vectoriel de dimension « typique », c'est-à-dire 
alors on a une notation particulière pour l'espace projectif : 
au lieu de 
.
Sous-espace projectif
Si 
est un sous-espace vectoriel non réduit à 
, on peut encore définir comme précédemment l'espace projectif 
sur . Ou alors on peut considérer le sous-ensemble de formé par les tels que 
, c'est-à-dire l'image 
En fait ces deux méthodes sont équivalentes et permettent de définir la notion de sous-espace projectif. Tout sous-espace projectif est défini à partir d'un sous-espace vectoriel.
En particulier on appelera hyperplan projectif tout sous-espace projectif défini à partir d'un hyperplan vectoriel.
Pour toute partie 
de on peut définir le sous-espace projectif engendré par , comme le plus petit sous-espace projectif de contenant ; on le notera 
.
Il correspond au sous-espace vectoriel engendré par l'mage réciproque 
de par la projection canonique :
Propriétés
Les premières propriétés des espaces projectifs s'expriment en termes d' incidence : les résultats sont beaucoup plus clairs que dans le cas vectoriel.
Si et 
sont des sous-espaces projectifs de , l'intersection 
est un sous-espace projectif correspondant au sous-espace vectoriel 
de : 
.
D'autre part l'union de deux sous-espaces projectifs n'est pas en général un sous-espace projectif mais on que considérer le sous-espace projectif engendré par et , qui correspond au sous-espace vectoriel somme 
: 
.
Pour tout couple de sous-espaces projectifs de dimensions finies on a la relation fondamentale :
Alors que dans le cas d'un espace affine on a seulement inégalité (voir formule de Grassman).
Application fondamentale de ce résultat : si est un plan projectif, et si et sont des droites projectives, on obtient 
. Or l'espace somme 
est inclus dans , donc de dimension inférieure ou égale à 2. On obtient 
, c'est-à-dire que deux droites du plan projectif ont toujours au moins un point commun.
Autrement il n'y a pas de droites parallèles dans un plan projectif, et plus généralement pas de notion de parallèlisme en géomtrie projective. On voit ici le progrès par rapport à la géométrie affine : la géométrie projective va nous permettre d'éliminer de nombreux particuliers dûs au parallèlisme.
Droite et abscisse projectives
Un espace projectif de dimension 1, dit droite projective, est l'espace projectif construit sur un plan vectoriel 
.
On définit l'ensemble 
ou \infty est un point extérieur à 
, prolongeant les opérations algébriques de la manière suivante :
