Géométrie euclidienne
La géométrie euclidienne est l'étude des figures (dessins) obéissant aux axiomes qu'a posés Euclide dans son ouvrage Les Éléments. C'est la géométrie telle qu'elle est enseignée jusqu'au lycée. On l'appelle souvent aussi géométrie plane lorsque les figures sont tracées sur une surface plane, ou géométrie dans l'espace lorsque l'on considère des volumes.
La géométrie des Éléments d'Euclide n'utilise que la règle et le compas bien que les connaissances de son époque incluaient aussi des constructions approchées dites par neusis.
La règle permet de tracer des traits droits ( droites, segments de droite), et le compas permet de rapporter des distances (et accessoirement de tracer des cercles).
On peut noter ici que la règle n'est pas graduée ; on ne s'intéresse pas à la distance comme quantité de centimètres mais comme grandeur non numérique.
Le dessin est son propre étalon ; on peut aussi dire que les propriétés du dessin ne dépendent pas de son échelle.
Notons aussi que la lecture de la figure dans la géométrie euclidienne est vitale et donne des informations que ne donne pas le texte.
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Objets géométriques
La géométrie, comme toute science d'abstraction, définit des objets (attention, ces définitions sont naïves) :
- le point : on peut imager le point comme une tête d'épingle, il est en fait infiniment petit ; on le représente par une croix faite au crayon (l'intersection de deux droites sécantes est un point) ; on nomme en général les points par une lettre romaine majuscule, comme A, B...
- la droite : c'est un trait droit d'épaisseur nulle, comme un fil tendu extrêment mince ; la droite est le plus court trajet entre deux points ; on la représente par un trait de crayon droit ; on nomme la droite par une lettre romaine minuscule ou grecque majuscule (en général d ou Δ), mais si l'on connaît deux points distincts de la droite (par exemple A et B), on peut nommer la droite en mettant le nom de ces deux points entre parenthèse (on parle de la « droite (AB) ») ;
- le segment de droite : c'est une portion de droite comprise entre deux points ; on le represente par un trait droit délimité par deux petits traits perpendiculaires aux extrémités ; si A et B sont les points des extrémités, le segment est nommé en mettant ces noms entre crochets (on parle du « segment [AB] ») ;
- la demi-droite : c'est la portion d'une droite qui se trouve d'un côté d'un point de la droite ; si A est le point de « départ » de la demi-droite et B un autre point de cette demi-droite, alors on la note [AB) ;
- le cercle : il est l'ensemble des points qui se situent à une même distance d'un point particulier appelé centre ; il est représenté par un rond avec une croix au milieu ; la croix localise le centre, le rond localise les points du cercle ; il est en général nommé par une lettre romaine majuscule (par exemple C).
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Image:geometrie objets de base.png
Les postulats d'Euclide
Ces postulats sont appelés « demandes », soit des propositions a priori non évidentes mais qu'on demande tout de même d'admettre pour pouvoir travailler. Ils sont présentés ici dans la version de la traduction de Peyrard :
- Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
- Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.
- D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle.
- Tous les angles droits sont égaux entre eux.
- Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.
Le dernier postulat est le bien connu 5° postulat d'Euclide. On peut aussi le formuler comme ci-dessous :
- Soient une droite (d) et un point M situé hors de cette droite ; il ne passe par M qu'une seule droite (d') parallèle à d
Constructions à la règle et au compas
La principale construction de la géométrie est sans doute le tracé de la médiatrice d'un segment.
La médiatrice du segment [AB] est la droite d qui coupe perpendiculairement [AB] en son milieu I.
- Théorème : La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points qui sont à égale distance de ses extrémités.
- Théorème réciproque : L'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est la médiatrice de ce segment.
Ceci se voit aisément en remarquant que si l'on considère un point M de la médiatrice, les segments [AM] et [BM] sont symétriques par rapport à la médiatrice. On peut aussi utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles AMI et IMB et montrer l'égalité de leurs hypoténuses.
Donc, si l'on sait construire la médiatrice, on sait donc déterminer le milieu d'un segment et tracer une perpendiculaire à une droite.
Pour cela, on ouvre le compas sur une longueur supérieure à la moitié de la longueur du segment, puis, on trace deux cercles avec ce rayon, l'un centré sur A, l'autre sur B (en fait, on peut se contenter de ne tracer que des arcs de cercle). L'intersection des deux cercles est constituée de deux points situés à égale distance de A et de B, et qui définissent donc bien la médiatrice.
Image manquante
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Image:geometrie construction mediatrice.png
Métrique
Longueurs, angles
Figures géométriques
La géométrie étudie des objets constitués de plusieurs segments
- triangle
- quadrilatère : trapèze, parallélogramme, losange, carré
- autres polygones