Géométrie analytique

La géométrie analytique est la partie de la géométrie dans laquelle on représente les objets par des équations ou inéquations. Le plan ou l'espace est nécessairement muni d'un repère.

La géométrie analytique permet à l'inverse de représenter des fonctions mathématiques sous la forme de courbes, de graphiques. Elle est donc fondamentale pour la physique et l'infographie.

Sommaire

1 Géométrie analytique plane

1.1 Droite
1.2 Point
1.3 Demi-plan
1.4 Demi-droite
1.5 Le cercle et le disque

2 Géométrie analytique dans l'espace

2.1 Plan
2.2 Droite
2.3 Point

3 Voir aussi

Géométrie analytique plane

Le plan affine est muni d'un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ ; x désigne l'abscisse d'un point, et y l'ordonnée.

Droite

Une droite affine (c'est-à-dire une droite au sens habituel, un ensemble de points) est représentée par une équation du premier degré à deux inconnues :

ax + by + c = 0 (1)

Si c est nul, alors la droite passe par l'origine O. Si deux droites sont parallèles, alors leurs coefficients a et b sont proportionnels. Si b n'est pas nul, cette équation peut se réécrire :

y = a′·x + b′

a′ = - a/b est appelé le coefficient directeur ou la pente de la droite, et b′ = - c/b est appelé ordonnée à l'origine (offset en anglais) ; deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. Avec cette forme là, on voit aisément que la droite passe par le point (0,b′), qui est également appelé ordonnée à l'origine (le terme désigne donc à la fois le point et l'ordonnée de ce point). Si a est nul, on a une droite horizontale

y = b′

passant par le point (0,b′). Si b est nul, on a une droite verticale

x = - c/a

passant par le point (- c/a,0).

Pour tracer une droite à partir de son équation, il suffit de connaître deux points. Le plus simple est de prendre l'intersection avec les axes, c'est-à-dire de considérer successivement x = 0 et y = 0 (sauf si la droite est parallèle à un axe, auquel cas le tracer est trivial). On peut aussi prendre l'ordonnée à l'origine et un point « éloigné » (c'est-à-dire au bord de la figure tracée sur le papier, par exemple considérer x = 10 si l'on va jusqu'à 10), ou encore deux points éloignés (un à chaque bord de la figure) ; en effet, plus les points sont éloignés, plus le tracé de la droite est précis.

Une droite vectorielle (c'est-à-dire un ensemble de vecteurs colinéaires, proportionnels entre eux) est représentée simplement par une équation de droite avec c nul :

au₁ + bu₂ = 0

où u₁ et u₂ sont les composantes des vecteurs. On en déduit que pour une droite affine ou vectorielle, le vecteur de composantes

$\vec{u} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$

est un vecteur directeur de la droite. Si le repère est orthonormé, d'après une propriété du produit scalaire, le vecteur

$\vec{N} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

est un vecteur normal à la droite.

Quelque soit le repère, si A (x_A,y_A) est un point de la droite et $\vec{u}$ un vecteur directeur, alors pour tout point M (x_M,y_M) de la droite, on a

$\overrightarrow{AM} = k \cdot \vec{u},\ k \in \mathbb{R}$

puisque $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à $\vec{u}$ . Ceci nous donne une équation paramétrique de la droite :

$\left\{\begin{matrix} (x_M - x_A) = k \cdot u_1 \\ (y_M - y_A) = k \cdot u_2 \end{matrix}\right.$

qui peut s'écrire

$\left\{\begin{matrix} x_M = u_1 \cdot k + x_A \\ y_M = u_2 \cdot k + y_A \end{matrix}\right.$ (2)

en éliminant le paramètre k, on retrouve une équation de la forme (1).

Point

Un point est représenté par un système de deux équations du premier degré à deux inconnues :

$\left\{\begin{matrix} x = a \\ y = b \end{matrix}\right.$

ce qui est logique puisque, un point étant l'intersection de deux droites non-parallèles, ses coordonnées doivent vérifier les équations des deux droites : la réduction de ce système d'équations donne la forme ci-dessus. Ceci est bien évidemment la représentation du point (a,b).

Demi-plan

Un demi-plan est représenté par une inéquation du premier degré à deux inconnues :

ax + by2 + 3ac > 0

si l'on remplace le signe > par un signe =, on obtient l'équation de la droite qui délimite le demi-plan ; si l'on remplace le signe > par le signe < (ou si l'on inverse les signe des coefficients), on obtient le demi-plan complémentaire.

Demi-droite

Une demi-droite est caractérisée par une équation et une inéquation

$\left\{\begin{matrix} ax + by + c = 0 \\ a'x + b'y + cz > 0 \end{matrix}\right.$

avec au moins a ≠a′ ou b ≠b′. Une demi-droite est en effet l'intersection d'une droite et d'un demi-plan délimité par une droite non parallèle à la première. La résolution du système obtenu en remplaçant le signe « > » par un signe « = » donne les coordonnées du point extrémité de la demi-droite, c'est-à-dire les coordonnées du point A d'une demi-droite [AB). Si a′ est non-nul, on peut se ramener à un système du type

$\left\{\begin{matrix} ax + by + c = 0 \\ x > d \end{matrix}\right. \ \mathrm{ou} \ \left\{\begin{matrix} ax + by + c = 0 \\ x < d \end{matrix}\right.$

(les deux systèmes représentant des demi-droites complémentaires), sinon à un système du type

$\left\{\begin{matrix} ax + by + c = 0 \\ y > d \end{matrix}\right. \ \mathrm{ou} \ \left\{\begin{matrix} ax + by + c = 0 \\ y < d \end{matrix}\right.$

Avec une équation paramétrique, cela revient à l'équation (2) en rajoutant la condition k > 0 ou k < 0.

Le cercle et le disque

Le cercle de de centre A et de rayon r est l'ensemble des points situés à une distance r de A. Son équation est donc :

(x - x A) 2 + (y - y A) 2 = r

L'équation du disque s'obtient en remplaçant le signe « égal » par une signe « inférieur ou égal ».

Géométrie analytique dans l'espace

L'espace affine est muni d'un repère $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ ; x désigne l'abscisse d'un point, y l'ordonnée et z la cote.

Plan

Un plan affine (c'est-à-dire un plan au sens habituel en géométrie, composé de points) est représentée par une équation du premier degré à trois inconnues :

ax + by + cz + d = 0 (3)

Si deux plans sont parallèles entre eux, alors leurs coefficients a, b et c sont proportionnels. Si d est nul, alors le plan passe par O. Si c est non nul, l'équation peut s'écrire

z = a′·x + b′·y + c′

avec a′ = - a/c, b′ = - b/c et c′ = - d/c. Si c est nul, alors on a un plan vertical.

Un plan vectoriel (c'est-à-dire un ensemble de vecteurs coplanaires) est représenté par une équation

au₁ + bu₂ + cu₃ = 0

où u₁, u₂ et u₃ sont les composantes d'un vecteur. Les vecteurs suivants sont des vecteurs du plan vectoriel, et si au moins deux coefficients de l'équation du plan sont non nuls, deux de ces vecteurs forment une base du plan :

$\vec{u} = \begin{pmatrix} - b \\ a \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ - c \\ b \end{pmatrix}$

$\vec{w} = \begin{pmatrix} - c \\ 0 \\ a \end{pmatrix}$

(la base obtenue n'est a priori pas orthonormée). Ces vecteurs forment aussi des vecteurs d'un plan affine dont l'équation a les mêmes coefficients a, b et c que l'équation du plan vectoriel.

Si deux des coefficients sont nuls, alors l'équation se réduit à l'une des trois formes suivantes :

u₁ = 0, qui représente le plan vectoriel $(\vec{j},\vec{k})$ ;

u₂ = 0, qui représente le plan vectoriel $(\vec{i},\vec{k})$ ;

u₃ = 0, qui représente le plan vectoriel $(\vec{i},\vec{j})$ .

De même,

ax + d = 0 représente un plan affine parallèle à $(\vec{j},\vec{k})$ , dont l'équation peut s'écrire x = - d/a

by + d = 0 représente un plan affine parallèle à $(\vec{i},\vec{k})$ , dont l'équation peut s'écrire y = - d/b

cz + d = 0 représente un plan affine parallèle à $(\vec{i},\vec{j})$ , dont l'équation peut s'écrire z = - d/c.

Dans tous les cas, si le repère de l'espace est orthonormal, le vecteur

$\vec{N} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$

est un vecteur normal au plan

Quelque soit le repère, si le plan passe par un point A (x_A,y_A,z_A) et est muni d'une base quelconque $(\vec{u},\vec{v})$ , alors pour tout point M (x_M,y_M,z_M), on a

$\overrightarrow{AM} = k \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v},\ (k,t) \in \mathbb{R}^2$

puisque $\overrightarrow{AM}$ , $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont coplanaires. Ceci conduit à l'équation paramétrique

$\left\{\begin{matrix} (x_M - x_A) = k \cdot u_1 + t \cdot v_1 \\ (y_M - y_A) = k \cdot u_2 + t \cdot v_2 \\ (z_M - z_A) = k \cdot u_3 + t \cdot v_3 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_M = u_1 \cdot k + v_1 \cdot t + x_A \\ y_M = u_2 \cdot k + v_2 \cdot t + y_A \\ z_M = u_3 \cdot k + v_3 \cdot t + z_A \end{matrix} \right.$ (4)

Droite

Une droite étant l'intersection de deux plans non-parallèles, elle est décrite par un système de deux équations du premier degré à trois inconnues

$\left\{\begin{matrix} ax + by + cz + d = 0 \\ a'x + b'y + c'z + d' = 0 \end{matrix}\right.$ (5)

La droite est contenue dans les deux plans, elle est donc orthogonale aux vecteurs normaux $\vec{N_1}$ et $\vec{N_2}$ des deux plans. Le produit vectoriel $\vec{u} = \vec{N_1} \wedge \vec{N_2}$ des vecteurs normaux fournit donc un vecteur directeur de la droite. Si le repère est orthonormé direct, le vecteur $\vec{u}$ a pour composantes :

$\vec{u} = \begin{pmatrix} bc'-b'c \\ ca'-c'a \\ ab'-a'b \end{pmatrix}$

Si par ailleurs on connaît un point A (x_A,y_A,z_A) et un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite, alors si M (x_M,y_M,z_M) est un point de la droite, il vérifie :

$\overrightarrow{AM} = k \cdot \vec{u},\ k \in \mathbb{R}$

puisque $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires. On obtient donc l'équation paramétrique

$\left\{\begin{matrix} x_M = u_1 \cdot k + x_A \\ y_M = u_2 \cdot k + y_A \\ z_M = u_3 \cdot k + z_A \end{matrix}\right.$ (6)

Point

Un point est décrit par un système de trois équations du premier degré à trois inconnues :

$\left\{\begin{matrix} x = a \\ y = b \\ z = c \end{matrix} \right.$

Le point étant l'intersection de trois plans concourants, ses coordonnées doivent vérifier les trois équations ; la réduction de ce système donne la forme ci-dessus. Ce système d'équations représente bien sûr le point (a,b,c).

Géométrie analytique

Géométrie analytique plane

Droite

Point

Demi-plan

Demi-droite

Le cercle et le disque

Géométrie analytique dans l'espace

Plan

Droite

Point

Voir aussi

See also: Géométrie analytique, Base orthonormale, Cercle, Colinéarité, Coplanaire, Disque, Droite (mathématiques), Espace, Espace affine, Géométrie