Gaz parfait

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Le gaz parfait est un modèle thermodynamique décrivant le comportement de tous des gaz réels à basse pression P.

Ce modèle a été développé au XIX^e siècle suite à la constatation que tous les gaz tendent vers ce même comportement à pression suffisamment basse, quelle que soit la nature chimique du gaz (loi d'Avogadro, 1811) : la relation entre la pression et la température est, dans ces conditions, indépendant de la nature du gaz. Ceci paraissait tellement extraordinaire que l'on a mis du temps à y croire ( voir l'article Histoire du nombre d'Avogadro).

Sommaire

1 Description d'un gaz parfait

2 Limites du modèle et gaz réel

3 Équation d'état et lois de Joule

4 Gaz Parfait de Laplace

4.1 Définition
4.2 Loi de Laplace

4.2.1 Expérience : détente dans un récipient vide
4.2.2 Cycle de Carnot d'un gaz parfait de Laplace

5 Expérience de Joule

6 Entropie d'un gaz parfait

7 Gaz parfait et théorie cinétique des gaz

8 Mélange de Gaz Parfaits

9 Voir aussi

Description d'un gaz parfait

Sur le plan macroscopique, on appelle gaz parfait tout gaz vérifiant simultanément les lois de Boyle-Mariotte et d'Avogadro :

Loi de Boyle-Mariotte : le produit de la pressionP et du volume V n'est fonction que de la température, lorsque PV est faible.

Loi d'Avogadro : tous les gaz on le même volume molaire dans les mêmes condition de pression et de température.

Sur le plan microcopique, la théorie cinétique des gaz a permis de retrouver ce comportement de gaz parfait : un gaz parfait est un gaz dont les molécules sont strictement ponctuelles et n'interagissent pas entre elles en dehors des chocs.

Limites du modèle et gaz réel

Tous les gaz peuvent être modélisés par un gaz parfait à basse pression. Lorsque la pression augmente, on ne peut plus négliger les interactions à courte distance, notamment l'effet de taille des molécules et les interactions de type van der Waals.

Pour caricaturer, si l'on augmente encore la pression, le gaz se liquéfie et évidemment un liquide ne peut être considéré comme un gaz parfait…

Un gaz réel a un comportement voisin d'un gaz parfait dans le cas où les distances intermoléculaires sont grandes par rapport à la taille des molécules et à la portée des forces d'interaction. On appelle gaz parfait « associé au gaz réel » le gaz parfait dont la capacité calorifique à pression constante est celle du gaz réel à pression nulle $C P (P = 0, T)$ .On dresse les tables thermodynamiques d'un gaz réel à partir des corrections apportées à ce gaz parfait associé.

Équation d'état et lois de Joule

Comme pour tout gaz, l'état d'équilibre thermodynamique d'un gaz parfait est fixé pour n moles de molécules, par deux paramètres macroscopiques, au choix. Les autres paramètres peuvent se calculer à partir des deux paramètres choisis par une formule appelée « équation d'état ».

L'équation la plus couramment utilisée est l'équation des gaz parfaits, qui est une équation thermoélastique

P V = n R T

où

P est la pression (en pascal) ;
V est le volume occupé par le gaz (en mètre cube) ;
R est la constante des gaz parfaits
R = 8,314 472 J·K^-1·mol^-1
on a en fait R = N·k_B où N est le nombre d'Avogadro et k_B est la constante de Boltzmann ;
T est la température absolue (en kelvin).

Cette équation dérive en faitd'autres lois trouvées auparavant : la loi de Charles, la loi de Boyle-Mariotte et la loi de Gay-Lussac.

Application numérique :

pour une pression d'une atmosphère (P = P₀ = 1,013 25·10⁵ Pa)
et une température de °C (T = T₀ = 273,15 K, température de la glace fondante sous P₀),

le volume molaire est donc

V₀ = 22,413 996(39) L/mol

on retient en général la valeur approchée 22,4 L/mol.

Ce qui donne un volume par molécule (volume « libre » autour de la molécule, indépendament de sa dimension) :

$\frac{V_0}{N}$

si l'on assimile ce volume libre à un cube, alors l'arrête de ce cube est globalement la distance moyenne séparant les molécules à chaque instant,que l'on appelle longueur de Loschmidt d₀. Cette valeur est la racine cubique du volume « libre » :

d₀ = 3,338 792 5 nm

on utilise en général la valeurapprochée 3,33 nm.

Pour une pression vallant un millionième de la pression atmosphérique (P₀/1000 000), la distance interparticulaire est 333 nm = 1/3 micromètre et est indépendante de la nature du gaz.

On peut également utiliser une équation énergétique, la loi de Joule-Thomson :

L'enthalpie

H (P, T) = U + P V

ne dépend pas de la pression.

Ces deux équations de définition donnent immédiatement que l'énergie interne U(V,T), ne dépend que de la température et pas du volume : un gaz parfait suit la loi de Joule

La capacité calorifique à volume constant d'un gaz parfait vaut

C V = N u'(T)

et est donc indépendante du volume.

De même la capacité calorifique à pression constante d'un gaz parfait vaut

$C_P = N h'(T)\,$

et est donc indépendante de la pression.

Comme par définition l'enthalpie vaut

H = U + PV

on obtient la relation de Mayer :

C P - C V = R

pour une mole.

Si l'on applique la formule de Clapeyron donnant la chaleur latente de dilation l , de transfert latent de chaleur de dilatation (cf formules de thermodynamique), et on trouve que le coefficient β d'augmentation relative de pression isochore vérifie :

β T = 1

donc :

U(V,T) ne dépend pas du volume : un gaz parfait est un gaz de Joule, U = N·u(T) +cste.

et l'enthalpie vaut :

H(P,T) = U + PV

ne dépend donc pas de P : un gaz parfait est un gaz de Joule-Thomson (cf loi de Joule).

Gaz Parfait de Laplace

Définition

Il arrive que $C_P \,$ ne dépende pas non plus de $T \,$ , donc $\gamma = C_P/C_V \,$ non plus. Le gaz parfait est dit de Laplace ( le GP de Laplace). Il arrive souvent que l'on précise la valeur de $\gamma \,$ .

Par convention, si on choisit $\gamma = \frac{5}{3}$ , le gaz parfait de Laplace est dit « gaz parfait monoatomique » (GPM). Le comportement de l'argon est très proche d'un gaz parfait monoatomique.

Par convention, si on choisit $\gamma = \frac{7}{5}$ le gaz parfait de Laplace est dit « gaz parfait diatomique » (GPD). Le comportement du diazote N₂ est proche d'un gaz parfait diatomique.

Il est d'usage d'écrire pour un gaz parfait de Laplace :

$PV =( \gamma -1) \cdot U = (1- \frac{1}{\gamma}) \cdot H$

soit , pour un gaz parfait monoatomique

PV = 2/3 U = 2/5 H

et pour un gaz parfait diatomique :

PV = 2/5 U = 2/7 H.

Loi de Laplace

Dans une transformation adiabatique réversible élémentaire :

$dU = - P.dV \,$ ;

ceci entraîne, en remplaçant U par sa valeur en fonction de P et V :

V . d P + γ. P . d V = 0

soit en intégrant :

  Loi de Laplace

d'où le nom donné à ces gaz parfaits un peu particuliers.

Il en résulte, dans une détente, un refroidissement considérable, le gaz prenant sur son énergie interne le travail ,(-W ), qu'il fournit:

(voir aussi Détente adiabatique).

Application numérique : pour un gaz parfait monoatomique, on trouve aisément :

$\ln \frac{T}{T^0} = \frac{2}{5} \cdot ln \frac{P}{P^0}$

soit pour un rapport de pression 1/10 (la pression baissede 90 %), un abaissement de température absolue d'un facteur 0,398 ; de 300 K la température descend à 120 K soit une chute vertigineuse de 180 K. Ce procédé est utilisé dans l'industrie pour obtenir de basses températures. Malheureusement, la valeur obtenue est un peu utopique car les gaz réels ne sont pas des gaz parfaits à basse température.

Pour les ordres de grandeur, on retient

R·T ~ 2 500 J/mol à 300 K.

Donc le travail récupéré dans cette détente est :

2500·(180/300) = 900 J/mol.

Expérience : détente dans un récipient vide

Une autre loi remarquable est l'échauffement produit quand on laisse pénétrer un gaz parfait de Laplace dans un flacon vide : le gaz s'engouffre et puis très vite tout redevient chaotique ( la température s'uniformise et devient

T = γ·T₀

T₀ étant la température externe. Pour une température externe de 300 K etun gaz parfait monoatomique, on obtient :

T = 500 K

soit une élévation de 200 K. Dans la soufflerie de Modane, c'est bien ce que l'on peut observer.

Ainsi, on a deux cas d'expansion du gaz . Le deuxième étonne un peu , si on n'y a pas réfléchi auparavant.

(Voir aussi l'article Compression adiabatique.)

Cycle de Carnot d'un gaz parfait de Laplace

Un cycle de Carnot moteur d'un gaz parfait a comme le veut le théorème de Carnot, le rendement de Carnot : $r = 1-\frac{T_2}{T_1}$ .

Dans le cas présent, tout peut se calculer aisément. Décrivons le cycle — on pourra le dessiner aisément en coordonnées de Clapeyron logarithmiques (log V, log P) :

Transformation (A → B) : compression isotherme à température basse, T₂, réversible : il faut donc pour éviter que le gaz ne s'échauffe libérer une quantité de chaleur -Q₂ >0 à la source froide qui maintient la température T₂.
Transformation (B → C) : compression de Laplace : la température monte de T₂ à T₁.
Transformation (C → D) : détente isotherme à haute température T₁, réversible : pour éviter que le gaz ne se refroidisse, il faut que la source chaude fournisse une quantité de chaleur Q₁>0.
Transformation(C → A) (le point C a été choisi à l'intersection de l'adiabatique réversible passant par A) : la détente adiabatique réversible ramène la température de T₁ à T₂, et le gaz à son état initial.

Fin du cycle.

Puisque le gaz est revenu à son état initial, le premier principe de la thermodynamique nous dit que

W + Q₁ + Q₂ = 0

Le rendement du moteur est le travail récupéré -W ( donc égal à Q₁ + Q₂) divisé par la quantité de chaleur délivrée par la source chaude, soit Q₁ :

r = 1 + Q₂/Q₁

On démontre que

$\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2} =0$

d'où

$r = \frac{-W}{Q_1}= 1-\frac{T_2}{T_1}$ .

Ce qui nous donne la formule annoncée.

L'égalité de Clausius

Q₁/T₁ + Q₂/T₁ = 0

provient du fait que le cycle a été réversible : l'entropie totale est restée constante, celle du gaz est nulle car il est revenu dans l'état A. La source 1 a vu son entropie varier de -Q₁/T₁, la source 2 de -Q₂/T₂, d'où l'égalité.

Application numérique : même en prenant une eau de rivière à 300 K et une source chaude à 600 K, le rendement ne serait que 50 %.Sur un giga watt électrique fourni par une centrale « reversible », 2GW doivent être consommés (en charbon, pétrole, méthane, ou mox nucléaire) dont 1 GW ira à la rivière (élévation de température) ou dans l'atmosphère (chaleur de fumée, vapeur d'une tour de réfrigération). Si l'on considère que toute la chaleur va dans la rivière et que celle-ci a un débit 100 m³/s : en 1 seconde, 10⁹ J iront chauffer 100·10⁶ g d'eau : soit une élévation de température de 10 (J)/4,18 (J/K) = 2,4 K.

Six centrales produisant 6 GW donneraient une élévation de 6·2,4 = 14,4 K. En France, il est interdit de dépasser 27 °C dans une rivière (obligation légale, pour la survie de la vie aquatique en zone tempérée) : l'été 2003 fût très chaud, il a fallu arrêter certaines centrales (voir l'article Canicule 2003). Cette la pollution thermique (Q₂ < 0) calculée par la formule de Carnot est la plus basse possible ; il s'agit en fait d'un minimum, la pollution thermique réelle est plus élevée. Encore avons-nous pris un rendement r = 0,5 ; la réalité est proche de 0,42.

Expérience de Joule

Voici un troisième exemple : cette fois le gaz parfait est contenu dans un flacon de volume V₁ et est brutalement mis en contact avec un récipient vide de volume V₂, où il s'engouffre partiellement : quelle est la température finale en admettant que les parois n'absorbent aucune chaleur ?.

Cette expérience s'appelle expérience de Joule et Gay-Lussac, ou encore détente de Joule ; en fait, c'est Hirn en 1856 qui réussit réellement à la mettre en œuvre expérimentalement.

On se doute un peu de ce qui se passe : dans le second récipient,le gaz doit être plus chaud ; si V₂ est très inférieur à V₁, on doit retrouver T₂ = γ·T₀, d'après l'expérience 2.

Dans le récipient 1, le gaz qui y reste s'est détendu, il doit être plus froid ; c'est ce que l'on constate. Mais quelle est la température finale après retour à l'équilibre thermique ? Réponse : comme un GP est un gaz de Joule, la température ne change pas (cf. loi de Joule).

Entropie d'un gaz parfait

Il ne reste plus pour tout connaître du gaz , que de calculer son entropie S; ce qui est facile si on admet démontré le fait que T ,température absolue, est la température thermodynamique ( thermométrie).

Alors écrivant dS = 1/T ( dH -V dP )= $C P$ dT/T - R dP/P , il vient immédiatement :

S(P,T) = S molaire = $C P$ Ln T - R Ln P +cste.

Exemple : dans l'expérience de Joule précédente, irréversible et adiabatique l'entropie a augmenté : $Δ S$ = R Ln (1+V2/V1).

Seule la mécanique statistique ( quantique) peut donner la valeur de la constante dite de Sackur-Tetrode (cf troisième principe de la thermodynamique).

Pour un GPM, on préfère retenir la valeur de G := U + PV - T.S , appelée enthalpie libre:

G(V,T,N) = - NkT Ln ( P/P°), avec P°(T) = $\frac{kT}{\lambda^3}$

où $λ$ = h/p et p = sqrt ( 2 $π$ . m.kT).

On retrouve alors toutes les valeurs données dans les tables (par exemple pour l'argon , le néon , etc.). Les calculs sont à peine plus compliqués pour les gaz diatomiques...

Cette valeur n'est valable que si la distance interatomique d= cubic_root(V/N) >> $λ$ : sinon, on tombe alors dans le domaine des gaz d'atomes froids (cf cours Cohen-Tannoudji, collège de France, qui sont on line !).

Gaz parfait et théorie cinétique des gaz

Les gaz parfaits font l'objet d'une théorie dite théorie cinétique des gaz expliquant les lois physiques qui les régissent ;

Mélange de Gaz Parfaits

Pour ce qui d’un mélange idéal de gaz parfaits, on dispose de la loi de Dalton :

p = \sum p i i

où

p i

désigne la pression partielle' du gaz

i

i.e. la pression qu’aurait le gaz

i

s’il occupait seul tout le volume.

Soit un gaz parfait de particules A, de volume V1 et un gaz parfait de particules B,de volume V2 il n'est pas du tout évident que pour une même pression et une même température, le mixage donne en enlevant la cloison, un mélage de gaz de même pression , de même température et de volume V1+V2 .Par exemple pour 1L d'eau et 1L d'alcool on obtient 1.84 L d'eau alcoolisée, mais ce ne sont pas des GP,certes!

En général A et B n'interagissent pas : D'après le paragraphe précédent, A subit alors une détente de Joule de V1 à V1+V2 , puisqu'il ne « voit » pas B . Symétriquement pour B . Ainsi la température n'a pas changé. et la pression sur les parois est dûe à A et B , soit P° [ V1/ (V1+V2)]pour A , et P° [ V2/ (V1+V2)]pour B , soit au total P° : la pression n'a pas changé. (par contre on verra qu'il y a eu perte d'information par mixage(paradoxe de Gibbs)): la loi de Mariotte reste donc vraie. S'il n'y a pas interaction entre A et B , l'énergie interne est simplement celle de A plus celle de B : la loi de Joule reste vraie . Donc le mélange se comporte comme un GP. Le mélange de 2 GP de Laplace est un GP de Laplace dont le facteur $γ$ n'est pas la moyenne pondérée des $γ$ , mais $C V e t C P$ sont les moyennes pondérées: ne pas se faire pièger !

L'entropie d'un mélange est la somme des entropies de chacun des gaz pris sous sa pression partielle(cf paradoxe de Gibbs) : faire très attention à ce théorème : il sera la clef en chimie de la loi d'action de masses.

p =	∑	p_i
	i