Mouvement à force centrale

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Sommaire

3.1 Le moment cinétique L est constant
3.2 La trajectoire est plane
3.3 remarque d'épistémologie et d'histoire des sciences
3.4 La vitesse aréolaire est constante
3.5 Le mouvement est dit intégrable

4 Exemples

5 Le théorème de Bertrand

Définition

On appelle mouvement à force centrale, ou plus exactement mouvement sous l'action d'une force centrale, le mouvement d'un point matériel

M

soumis uniquement à l'action d'une force $\vec{F}$ dont la droite d'action contient en tout instant un même point de l'espace O appelé centre.

En d'autres termes, la force $\vec{F}$ est en tout instant colinéaire au vecteur $\overrightarrow{OM}$ (pour plus de précisions , voir force centrale).

Histoire

C'est Isaac Newton(1642-1727) qui résolut le premier ce problème en 1687. Robert Hooke(1635-1703) a cependant résolu le cas particulier linéaire, dit de Hooke : $\overrightarrow{F}= - k . \overrightarrow{OM}$ (voir ellipse de Hooke).

Newton démontre en particulier que la trajectoire est plane dans un plan contenant le centre de force O, perpendiculaire au moment cinétique $\overrightarrow{L}= m \overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow{V}$ , qui est constant. Cette trajectoire est décrite selon la loi des aires : des aires égales sont balayées dans des temps égaux.

Propriétés et remarques

Le mobile décrit toujours la trajectoire dans le sens direct sans jamais rétrograder.
On choisit $\overrightarrow{k} . \overrightarrow{L} = L >0$ .
Le cas L = 0 est dit singulier (cf. régularisation du mouvement central).
Galilée, dès 1610, préssent l'utilité de ce mouvement pour obtenir une mesure du temps : après observation des satellites médicéens, il fait « un appel d'offre » à l'Europe, pour le calcul des longitudes, mal reçu. Cassini1er(1625-1712) avec ses éphémérides de Io (lune) (le plus gros satellite de Jupiter) ne sera guère plus persuasif (cf. Olaüs Roemer(1644-1710)). Ainsi, le problème de l'établissement des cartes maritimes lança la Grande Concurrence, initiée par Galilée et par Huygens (Horologium en 1653), entre horloge céleste et chronomètre de marine.

Le moment cinétique L est constant

Fondamentalement, le fait que que le moment cinétique soit constant vient de la symétrie centrale SO(3). Plus simplement, il suffit d'effectuer sa dérivée, et de constater qu'elle est nulle.

La trajectoire est plane

Comme, par définition, $\overrightarrow{OM}$ est toujours perpendiculaire à $\overrightarrow{L}$ , alors la trajectoire est plane.
L s'écrit alors en coordonées polaires de la façon suivante : $\overrightarrow{L} = mr^2 \frac{d\theta}{dt} = cste$ .

remarque d'épistémologie et d'histoire des sciences

Soit P la projection de O sur la tangente à la trajectoire au point courant M : P décrit, par définition, la podaire de O par rapport à la trajectoire. Comme V(t) = C/OP(t) et que l'angle (OP, V) = +90° , l'inverse de la podaire de la trajectoire donne à une rotation évidente près, l'hodographe. Réciproquement, l'antipodaire de l'inverse de la podaire redonnera la trajectoire : l'orbite de l'espace des phases dont la projection sur (O,x,y)est la trajectoire , et dont la projection sur l'espace des vitesses (O, Vx,Vy) est l'hodographe est donc très particulier: c'est cette simplicité symplectique (oh, délicieux oxymore pédant)qui fait que les premiers problèmes de mécanique résolus seront ceux à force centrale, Newton accordant une attention toute particulière aux podaires et antipodaires. À cette époque, tout le monde savait que l'inverse d'un cercle était un cercle et l'antipodaire d'un cercle une ellipse, de centre de force O pour foyer. A une trajectoire elliptique de Kepler correspondait donc un hodographe circulaire. D'une manière ou d'une autre, les lois de Kepler ont été démontrées via cet hodographe circulaire.

Plusieurs scientifiques pourraient ētre à l'origine de cette découverte : Newton dans ses brouillons perdus, comme il l'affirme en Août 1684 à Halley ; Hermann dont on voit la démonstration dans la troisième édition des Principia ... (cf. l'invariant de Runge Lenz).

La vitesse aréolaire est constante

Soit A(t) l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur.

Sa variation élémentaire dA est l'aire du petit triangle infinitésimal MOM'=1/2 OM.OM'.sin (d $θ$ ) = 1/2.r².d $θ$ , d'où

2.dA/dt = r².d $θ$ /dt = C = constante des aires.

La démonstration de Newton, géométrique, dit la même chose , à l'aide d'un superbe dessin (promis dès que je sais dessiner!).

Comme r n'est jamais nul, $θ$ (t) est fonction croissante stricte de t : c'est donc une échelle de temps, certes bizarre, mais néanmoins il suffit de tabuler la fonction réciproque pour avoir l'heure. C'est empiriquement ce que fait l'analemmatique d'un cadran solaire.

La fonction réciproque de l'équation du temps de Kepler posera de beaux problèmes mathématiques à Legendre et Cauchy.

Les horlogers du XVIIe , très fiers de leurs « franc-comtoises » , négligeant l'excentricité terrestre, affirmeront avec un aplomb outrecuidant : « les aiguilles du soleil sont fausses ». Les astronomes s'en esclaffaient.

Le mouvement est dit intégrable

En effet, pour deux inconnues x(t) et y(t), il y a deux intégrales premières, L/m et l'énergie mécanique 1/2 m V² + U(r). On les note respectivement C et E.
La méthode est banale : on a vu que $θ(t)$ était une échelle de temps. $θ$ et t sont donc comme interchangeables : il n'y a au fond qu'une seule inconnue r(t) ou $r (θ)$ .

On étudie brièvement ces deux possibilités :

$\frac{1}{2} m \left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + U_e(r) = E$ avec $U_e(r)= U(r) + \frac{L^2}{2mr^2}$ , dite énergie potentielle « efficace », le deuxième terme s'appelant barrière centrifuge d'énergie. On reconnaît alors une équation différentielle de Newton, résoluble aisément : on obtient ainsi la forme analytique de r(t). On peut alors utiliser cette valeur pour calculer $θ(t)$ via $d θ(t) / d t = C / r 2 (t)$ . Finalement, r(t) et $θ(t)$ donnent l'équation paramétrée de la trajectoire en coordonnées polaires.
Si l'on ne cherche que la trajectoire, on peut éliminer le temps absolu t pour le remplacer par l'échelle de temps $θ$ : on obtient une autre équation différentielle de Newton : $\frac{1}{2}m \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2.(C/r^2)^2 + U_e(r)=E$ , également résoluble. On obtient ainsi $r (θ)$ , c’est-à-dire l'équation de la trajectoire en coordonnées polaires.

Exemples

Hooke a peut-être résolu empiriquement le cas $\vec{F} = -k.\overrightarrow{OM}$ . Voir ellipse de Hooke
Le mouvement des planètes. Voir lois de Kepler.
Cas des orbites bornées, à énergie négative.
Cas de diffusion, à énergie positive (diffusion, calcul de la déviation en fonction du paramètre d'impact, notion de section efficace différentielle, phénomène de gloires, arc-en-ciel, Diffusion de Rutherford).

Le théorème de Bertrand

Cas des orbites fermées quelles que soient les conditions initiales : cela n'a lieu que pour une force centripète de Hooke ou de Newton , théorème démontré par Joseph Bertrand(1822-1900).