Fonction trigonométrique

En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des côtés d'un triangle contenant l'angle, ou, plus généralement, par les rapports des coordonnées de points du cercle trigonométrique, ou, plus généralement encore, comme somme d'une série entière.

Chacune de ces trois approches sera présentée ci-dessous. Il y a six fonctions trigonométriques de base.

sinus (sin)
cosinus (cos)
tangente (tan = sin/cos)
sécante (sec = 1/cos)
cosécante (cosec = 1/sin)
cotangente (cotan = cos/sin)

Le sinus, le cosinus et la tangente sont de loin les plus importantes. Plusieurs relations entre ces fonctions sont énumérées à la page des identités trigonométriques.

Sommaire

1 Définitions dans le triangle rectangle

1.1 Astuces mnémotechniques
1.2 Valeurs remarquables

2 Définitions à partir du cercle trigonométrique

2.1 Relations entre sinus et cosinus
2.2 Représentations graphiques

3 Définitions à partir des séries entières

4 Fonctions réciproques

5 Propriétés et applications

6 Voyez également:

Définitions dans le triangle rectangle

Pour définir les fonctions trigonométriques en un angle A, considérons un triangle rectangle arbitraire qui contient l'angle A. Nous emploierons les noms suivants pour désigner les côtés du triangle rectangle :

l’hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, et est une jambe de l'angle A,
le côté opposé est le côté opposé à l'angle A, qui nous intéresse,
le côté adjacent est le côté qui est une jambe de l'angle A, qui n'est pas le hypoténuse.

On notera:

o la longueur du côté opposé

a la longueur du côté adjacent

h la longueur de l'hypoténuse

1) Le sinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé par la longueur de l'hypoténuse :

sin(A) = longueur du côté opposé / longueur de l'hypoténuse = o/h.

Notez que ce rapport ne dépend pas du triangle rectangle particulier choisi, aussi longtemps qu'il contient l'angle A, puisque tous ces triangles rectangles sont semblables.

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Sinus_de_A.png
image:sinus_de_A.png

2) Le cosinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse :

cos(A) = longueur de côté adjacent / longueur de l'hypoténuse = a/h.

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Cosinus_de_A.png
image:cosinus_de_A.png

3) La tangente d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur du côté adjacent :

tan(A) = longueur du côté opposé / longueur du côté adjacent = o/a.

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Tangente_de_A.png
image:tangente_de_A.png

Les trois fonctions restantes sont définies en utilisant les trois fonctions ci-dessus.

4) La cosécante de A notée cosec(A) est l'inverse du sinus de A, 1/sin(A), c'est-à-dire le rapport de la longueur du hypoténuse par la longueur du côté adjacent :

cosec(A)=longueur de l'hypoténuse / longueur du côté opposé = h/o.

5) La sécante de A notée sec(A) est l'inverse du cosinus de A, 1/cos(A), c'est-à-dire le rapport de la longueur du hypoténuse par la longueur du côté opposé:

sec(A)=longueur de l'hypoténuse / longueur du côté adjacent = h/a.

6) La cotangente de A notée cotan(A) est l'inverse de la tangente de A, 1/tan(A), c'est-à-dire le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur du côté opposé:

cotan(A)= longueur du côté adjacent / longueur du côté opposé = a/o.

Astuces mnémotechniques

« Le gosse a dit que Tangopa avait de la synopie. » : pour se rappeler que cos = adj / hyp, tan = opp / adj et sin = opp / hyp.

Sophie, Caddie, Topaze
- Sophie (sinus = opp / hyp)
- Caddie (cos = adj / hyp)
- Topaze (tan = opp / adj)

« CAHSOHTOA » ou bien « SOHCAHTOA »:
- cos = adj / hyp
- sin = opp / hyp
- tan = opp / adj.

« SCT: OAO / HHA »

- SCT : Sin-Cos-Tan dans l'ordre des touches de la calculette, puis :

   Sinus       Cosinus     Tangente
 
      =            =           =     
 
    Opposé      Adjacent     Opposé
 
 ------------ ------------ ----------
 
  Hypoténuse   Hypoténuse   Adjacent

Valeurs remarquables

Il existe des tables de valeurs des fonctions trigonométriques, mais ces valeurs peuvent également être calculées par la calculatrice. Pour quelques angles simples, les valeurs peuvent être calculées à la main, comme dans les exemples suivants :

Supposons que l'on ait un triangle rectangle dans lequel les deux angles sont égaux, et donc = 45 degrés (p/4 radians). Puisque les longueurs b et a sont égales; nous pouvons choisir a = b = 1.

Maintenant, on peut déterminer le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle de 45 degrés. En utilisant le théorème de Pythagore, $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2}$ . Ceci est illustré dans la figure suivante :

Par conséquent,

$\sin {45^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

$\cos {45^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

$\tan {45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$

Pour déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques pour des angles de 60 degrés (p/3 radians) et de 30 degrés (p/6 radians), nous commençons par considérer un triangle équilatéral de longueur latérale 1. Tous ses angles sont de 60 degrés. En le divisant en deux, nous obtenons un triangle rectangle dont un angle est de 30 degrés. On obtient :

$sin { 30^\circ} = \frac{1}{2}$ ,

$cos {30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,

$tan {30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$sin {60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,

$cos {60^\circ} = \frac{1}{2}$ ,

$tan {60^\circ} = \sqrt{3}$ .

On peut se souvenir de ces valeurs en construisant la table suivante : en mettant dans l'ordre 0, p/6 (30°), p/4 (45°), p/3 (60°) et p/2 (90°), le sinus prend les valeurs $\frac{\sqrt{n}}{2}$ , et pour le cosinus, on prend l'ordre inverse.

Valeurs particulières de sin et cos
Angle	0	p/6 30°	p/4 45°	p/3 60°	p/2 90°
sin	$\frac{\sqrt{0}}{2}$ 0	$\frac{\sqrt{1}}{2}$ 1/2	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{4}}{2}$ 1
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1/2	0

Définitions à partir du cercle trigonométrique

Les six fonctions trigonométriques peuvent également être définies à partir du cercle trigonométrique. La définition géométrique ne fournit presque pas de moyens pour le calcul pratique ; en effet elle se fonde sur des triangles rectangles pour la plupart des angles. Le cercle trigonométrique, en revanche, permet la définition des fonctions trigonométriques pour tous les réels positifs ou négatifs, pas seulement pour des angles de mesure en radians comprise entre $0 \mbox{ et } \frac{\pi}{2}$ .

Dans un plan muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ , le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. Si l'on considère un point A(x_A,y_A) sur le cercle, alors on a :

$\cos \widehat{(\vec{i},\vec{OA})} = x_A$

$\sin \widehat{(\vec{i},\vec{OA})} = y_A$

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Cercle_trigo.png
Image:cercle trigo.png

Sur le cercle ci-dessous, nous avons représenté certains angles communs, et nous avons indiqué leurs mesures en radians figurant dans l'intervalle [-2p,2p], soit deux mesures par angle et même trois pour l'angle nul.

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Cercle_trigonométrique.png
Image:Cercle_trigonométrique.png

Notez que nous mesurons des angles positifs dans le sens contraire à celui de aiguilles d'une horloge et les angles négatifs dans le sens horaire. Une demi-droite qui fait un angle ? avec la demi-droite positive 0x de l'axe des abscisses coupe le cercle en un point de coordonnées (cos ?, sin ?). Géométriquement, cela provient du fait que l'hypoténuse du triangle rectangle ayant pour sommets les points de coordonnées (0, 0), (cos ?, 0) et (cos ?, sin ?) est égale à un rayon du cercle; l'hypoténuse a pour longueur 1, et sin ? = y/1 et cos ? = x/1. Le cercle trigonométrique peut être considéré comme une façon de regarder un nombre infini de triangles obtenus en changeant les longueurs des côtés opposés et adjacents mais en gardant la longueur de leur hypoténuse égale à 1.

Bien que seulement le sinus et le cosinus aient été définis directement par le cercle trigonométrique, les autres fonctions trigonométriques peuvent être définies par:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$

$\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$

$\operatorname{cotan} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$

Le cercle trigonométrique a pour équation :

$x^2 + y^2 = 1\,\!$

Cela donne immédiatement la relation

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\,\!$

Relations entre sinus et cosinus

Pour définir les angles strictement plus grand que $2\pi\,\!$ ou strictement négatifs, il suffit d'effectuer des rotations autour du cercle. De cette façon, le sinus et le cosinus deviennent des fonctions périodiques de période $2\pi\,\!$ :

pour tout angle $\theta\,\!$ et tout entier k :

$\cos(\theta) = \cos(\theta + 2k\pi)\,\!$

$\sin(\theta) = \sin(\theta + 2k\pi)\,\!$

Ceci exprime le caractère périodique de ces fonctions. Grâce au cercle, et avec des considérations géométriques simples, on peut voir que

$\cos(\theta + \pi) = - \cos(\theta)\,\!$

$\sin(\theta + \pi) = - \sin(\theta)\,\!$

car $\theta + \pi\,\!$ est à l'opposé du cercle par rapport à $\pi\,\!$ .

$\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin(\theta)\,\!$

$\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos(\theta)\,\!$

car $\frac{\pi}{2} - \theta\,\!$ est le point symétrique de $\theta\,\!$ par rapport à la bissectrice de $(\vec{i},\vec{j})$ .

$\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = - \sin(\theta)\,\!$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos (\theta)\,\!$

car $\theta + \frac{\pi}{2}\,\!$ est la rotation d'un quart de tour de $\theta\,\!$ .

$\cos(\pi - \theta) = - \cos(\theta)\,\!$

$\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)\,\!$

car $\pi - \theta\,\!$ est le symétrique de $\theta\,\!$ par rapport à $(O,\vec{j})$ .

$\cos(- \theta) = \cos(\theta)\,\!$

$\sin(- \theta) = - \sin(\theta)\,\!$

car $- \theta\,\!$ est le symétrique de $\theta\,\!$ par rapport à $(O,\vec{i})$ .

Ces formules font partie des identités trigonométriques.

Représentations graphiques

Voici les représentations graphiques des fonctions sinus, cosinus et tangente:

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Sinus.png
Image:sinus.png

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Cosinus.png
Image:cosinus.png

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Tangente.png
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Définitions à partir des séries entières

Ici, et généralement en analyse, c'est de la plus grande importance que tous les angles soient mesurés en radians. On peut alors définir

$sin(x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} +...+ (-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} +... = \sum\limits_{n = 0}^\infty {( - 1)^n } \frac{{x^{2n + 1} }}{{(2n + 1)!}}$

$cos(x)=1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} +...+ (-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!} +... = \sum\limits_{n = 0}^\infty {( - 1)^n } \frac{{x^{2n} }}{{(2n)!}}$

Ces définitions sont équivalentes à celles données ci-dessus et nous pouvons le justifier avec la théorie des séries de Taylor, et avec le fait que la dérivée du sinus est le cosinus et que celle du cosinus est - sinus. Ces définitions sont souvent utilisées comme le point de départ des traités rigoureux d'analyse et de la définition du nombre p puisque la théorie des séries est bien connue. La dérivabilité et la continuité sont alors faciles à établir, de même que les formules d' Euler en analyse complexe reliant les fonctions trigonométriques à la fonction exponentielle aussi bien que l'identité d'Euler. Les définitions en utilisant les séries ont l'avantage supplémentaire de permettre de prolonger les fonctions sinus et cosinus sur tout le plan complexe.

Fonctions réciproques

Les fonctions trigonométriques ne sont pas bijectives. En les restreignant à certains intervalles, les fonctions trigonométriques réalisent des bijections. Les applications réciproques sont habituellement définies par:

pour tous réels x et y tels que
-1 < x < 1, -p/2 < y < p/2,
y = arcsin(x) si et seulement si x = sin(y)
pour tous réels x et y tels que
-1 < x < 1, 0 < y < p,
y = arccos(x) si et seulement si x = cos(y)
pour tous réels x et y tels que
-p/2 < y < p/2,
y = arctan(x) si et seulement si x = tan(y)
pour tous réels x et y tels que
(x < -1 ou x < 1), (-p/2 < y < p/2 et y ? 0),
y = arccosec(x) si et seulement si x = cosec(y)
pour tous réels x et y tels que
(x < -1 ou x < 1), (0 < y < p et y ? p/2),
y = arcsec(x) si et seulement si x = sec(y)
pour tous réels x et y tels que
x ? 0, (0 < y < p et y? p/2),
y = arccotan(x) si et seulement si x = cotan(y)

Ces fonctions peuvent s'écrire avec des intégrales :

$arcsin(x) = \int(1 - x^{2})^{-\frac{1}{2}}dx$
$arccos(x) = \int-(1 - x^{2})^{-\frac{1}{2}}dx$
$arctan(x) = \int(1 + x^{2})^{-1}dx$
$arccosec(x) = \int(-x (x^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} )^{-1}dx$
$arcsec(x) = \int(x (x^{2} - 1)^{\frac{1}{2}})^{-1}dx$
$arccotan(x) = \int-(x^{2} + 1)^{-1}dx$

Propriétés et applications

Les fonctions trigonométriques, comme leur nom le suggère, ont une importance cruciale en trigonométrie principalement en raison des deux résultats suivants :

Considérons un triangle quelconque :

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Triangle_quelconque.png
image:triangle_quelconque.png

la loi des sinus s'écrit:

$\frac{\sin \widehat{A}}{a}= \frac{\sin \widehat{B}}{b}=\frac{\sin \widehat{C}}{c}$

Cette relation peut être démontrée en divisant la triangle en deux triangles rectangles et en utilisant la définition ci-dessus du sinus.

Le nombre commun $\frac{\sin(\widehat{A})}{a}$ apparaissant dans le théorème est l'inverse du diamètre du cercle circonscrit au triangle (cercle passant par les trois points A, B et C). La loi des sinus est utile pour calculer des longueurs inconnues des côtés dans un triangle quelconque si deux angles et un côté sont connus. C'est une situation courante survenant dans la triangulation, une technique pour déterminer des distances inconnues en mesurant deux angles et une distance.

la loi des cosinus ou théorème d'Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\widehat{C})$

À nouveau, ce théorème peut être démontré en divisant le triangle en deux triangles rectangles. La loi des cosinus est utile pour déterminer les données inconnues d'un triangle si deux des côtés et un angle sont connus. Remarquons que l'angle connu doit être contenu dans les deux côtés dont nous connaissons la longueur.

Il y a également la loi des tangentes :

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan(\widehat{A}-\widehat{B})/2}{\tan(\widehat{A}+\widehat{B})/2}$

L'utilisation des fonctions trigonométriques ne se limite pas seulement à l'étude des triangles. Les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques dont les représentations graphiques correspondent à des modèles caractéristiques d'ondes, utilisés pour modéliser des phénomènes oscillatoires tels que le bruit ou les ondes de la lumière. Chaque signal peut être écrit comme une somme (en général infinie) de fonctions de sinus et de cosinus de différentes fréquences; ce sont les séries de Fourier.

Pour avoir un formulaire de relations entre les fonctions trigonométriques, consultez les identités trigonométriques.

Voyez également:

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