Fonction hyperbolique

Les fonctions hyperboliques sont analogues aux fonctions trigonométriques ou fonctions circulaires. Ce sont les fonctions :

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Sinh.png

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Cosh.png

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Tanh.png

sinus hyperbolique définie par :

$\forall x \in \mathbb R,$

$\sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$

cosinus hyperbolique définie par :

$\forall x \in \mathbb R,$

$\cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$

tangente hyperbolique définie par :

$\forall x \in \mathbb R,$

$\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$

cotangente hyperbolique définie par :

$\forall x \in \mathbb R,$

$\mathrm{cotanh}(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}$

sécante hyperbolique définie par :

$\forall x \in \mathbb R,$

$\mathrm{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)}$

cosécante hyperbolique définie par :

$\forall x \in \mathbb{R}^*,$

$\mathrm{cosech}(x) = \frac{1}{\sinh(x)}$

Remarque : par construction,

$\qquad e^{+x} = \cosh(x) + \sinh(x)$

$\qquad e^{-x} = \cosh(x) - \sinh(x)$

Ainsi, la formule suivante est vraie pour tout réel x :

$(\cosh(x))^{2} - (\sinh(x))^{2} = 1 \,$

De même que les points (cos x, sin x) décrivent un cercle lorsque x parcourt $\mathbb R$ , les points (cosh x, sinh x) décrivent une branche d'hyperbole ;

Le paramètre x ne peut pas être interprété comme un angle, ni comme une longueur d'arc, les fonctions hyperboliques ne sont pas des fonctions périodiques.

La fonction cosh est à valeurs positives, paire et vérifie cosh(0) = 1.

La fonction sinh est impaire et ainsi sinh(0) = 0.

Les fonctions hyperboliques satisfont à des relations, très ressemblantes aux identités trigonométriques. En fait, la règle d'Osborne dit que l'on peut convertir n'importe quelle identité trigonométrique en une identité hyperbolique en la développant complètement à l'aide de puissances entières de sinus et cosinus, changeant sin en sinh et cos en cosh, et remplaçant le signe de chaque terme qui contient un produit de deux sinus en son opposé.

Cela nous permet d'obtenir par exemple, les relations pour les sommes :

$sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y)\,\!$

$cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y)\,\!$

et des «formules d'angle moitié» :

$cosh(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + cosh(x)}{2}}\,\!$

$sinh(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{cosh(x)-1}{2}}\,\!$

La fonction dérivée du sinus hyperbolique est la fonction cosinus hyperbolique.
La fonction dérivée du cosinus hyperbolique est la fonction sinus hyperbolique.

La fonction cosinus hyperbolique est convexe.

Puisque la fonction exponentielle peut-être définie sur l'ensemble des nombres complexes, nous pouvons aussi étendre les définitions des fonctions hyperboliques à l'ensemble des nombres complexes.
Les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique sont alors holomorphes.

Fonction hyperbolique

See also: Fonction hyperbolique, Cercle, Convexe, Fonction holomorphe, Fonction périodique, Fonction trigonométrique, Hyperbole (mathématiques), Nombre complexe