Fonction homographique

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Bien qu'elles procèdent du même principe, on distingue en mathématiques plusieurs types de fonctions homographiques ou homographies

Dans le domaine des fonctions numériques réelles

On appelle fonction homographique ou homographie toute fonction de R dans R définie par

$f(x) = \frac{ax+b}{cx + d}$

où a, b, c et d sont des réels, c étant non nul et (a , b) étant non proportionnel à (c , d)

Cette fonction détermine une bijection de R \ {- d/c} dans R \ {a/c}.

Sa représentation graphique est une hyperbole qui se déduit de l'hyperbole d'équation y = 1/x par une translation est une affinité

$f'(x) = \frac{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} }{(cx+d)^2}$

où $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ est le déterminant de $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

$f^{-1}(x) = - \frac{dx - b}{cx - a}$

On peut définir de même des fonctions homographiques de C dans C par l'expression

$f(z) = \frac{az + b}{cz + d}$

où a, b, c et d sont des complexes, c ou d étant non nul, (a , b) étant non proportionnel à (c , d)

A chaque fonction complexe, on peut associer une fonction ponctuelle F qui, au point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe f(z).

Dans le cas de l'homographie, on peut distinguer les cas suivants

si c = 0 alors F est une similitude directe
si b = 0 et d = 0 alors F est une inversion
si c est non nul, on peut prouver que F est la composée d'inversion et de similitudes

La fonction F conserve le birapport de 4 points distincts non alignés.

(à faire)