Fonction analytique

Image manquante
Math.png

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant.

Une fonction analytique est une fonction qui est localement la somme d'une série entière convergente.

En analyse complexe le résultat important est que les fonctions holomorphes sont analytiques.

Sommaire

1 Définition

2 Propriétés des fonctions analytiques

3 Exemples de fonctions analytiques

4 Les principaux théorèmes sur les fonctions analytiques

4.1 Le principe du prolongement analytique
4.2 Le principe des zéros isolés

Définition

Soit $f : U \rightarrow \mathbb{C} \,$ une fonction de la variable complexe, où $U \,$ est un ouvert de $\mathbb{C} \,$ . On dit que la fonction $f \,$ est analytique sur $U \,$ si pour tout $a \in U \,$ , il existe une suite $(a_{n}) \,$ de nombres complexes, il existe un réel $r>0 \,$ tel que pour tout $z \in D(a,r) \,$ , c'est-à-dire pour tout $z \,$ dans le disque de centre $a \,$ et de rayon $r \,$ on a:

$f(z) = \sum_{n=0}^{+ \infty}a_{n}.(z-a)^{n}$

Plus simplement, une fonction analytique est une fonction qui est développable en série entière au voisinage de chacun de ses points.

Propriétés des fonctions analytiques

Une fonction analytique est holomorphe. Il existe d'ailleurs une réciproque à cette proposition à savoir que toute fonction holomorphe sur un ouvert est analytique sur celui-ci.

De plus, une fonction analytique est infiniment dérivable (au sens complexe, voir fonction holomorphe) et la dérivée n-ième en un point $a \in U \,$ est $f^{(n)}(a)=n!.a_{n} \,$ avec les notations données dans la définition.

L'ensemble des fonctions analytiques est une algèbre: la somme, le produit, et la composée de fonctions analytiques sont analytiques.

Toute série entière est analytique. Ce n'est pas une tautologie car une série entière est a priori un developpement au voisinage d'un seul point.

Exemples de fonctions analytiques

La fonction exponentielle donnée par $exp(z)= \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^{n}}{n!}$ est analytique sur $\mathbb{C} \,$ tout entier : on dit qu'elle est entière.

La fonction $z \rightarrow Re(z)$ n'est pas analytique, car elle n'est pas holomorphe.

Les principaux théorèmes sur les fonctions analytiques

Le principe du prolongement analytique

Soit $U \subset \mathbb{C} \,$ un ouvert et $f : U \rightarrow \mathbb{C} \,$ . On suppose en outre que $U \,$ est connexe (cette hypothèse est essentielle). Alors les trois propositions suivantes sont équivalentes:

$f \,$ est identiquement nulle sur $U \,$
Il existe un ouvert de $U \,$ noté $\Omega \,$ sur lequel la restriction de $f \,$ est identiquement nulle
Il existe un point $a \in U \,$ tel que $\forall n \in \N , f^{(n)}(a)=0$

Ce principe signifie que si une fonction analytique s'annule sur un disque de rayon si petit soit-il alors c'est la fonction nulle.

Le principe des zéros isolés

On considère à nouveau un ouvert $U \subset \mathbb{C}$ qu'on ne suppose pas nécéssairement connexe et $f : U \rightarrow \mathbb{C} \,$ . Alors si $f \,$ n'est pas la fonction nulle alors tous les zéros de $f \,$ sont isolés c'est-à-dire que si $a \in U \,$ est tel que $f (a) = 0$ alors il existe un disque centré en $a \,$ tel que f ne s'annule en aucun autre point que $a \,$ sur ce disque ce qui se traduit par:

$\exists r >0 , \forall z \in D(a,r), z \neq a \Rightarrow f(z) \neq 0$ .