Factorisation des polynômes

On appelle factorisation des polynômes le fait de décomposer un polynôme en produits de polynômes de plus bas degré.

Cas usuels

Les cas les plus courants sont les polynômes à coefficients dans R ou C.

Dans C, tout polynôme de degré n peut se factoriser en un produit de n polynômes du premier degré. ℂ'est le théorème fondamental de l’algèbre, ou théorème de d'Alembert-Gauss.

Dans R, tout polynôme de degré n peut se factoriser en un produit de polynômes du premier degré et du second degré.

Exemples

Considérons le polynôme $x^4-1 \,$ à coefficients dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ .

L'identité remarquable $a^2-b^2 = (a+b)(a-b) \,$ donne :

$x^4-1=(x^2+1)(x^2-1) \,$

puis :

x 4 - 1 = (x 2 + 1)(x - 1)(x + 1)

Dans $\mathbb{R}$ , la factorisation est terminée.

Dans $\mathbb{C}$ , on peut aller plus loin :

x 4 - 1 = (x + i)(x - i)(x + 1)(x - 1)

Factorisation des polynômes

Cas usuels

Exemples

Voir aussi

See also: Factorisation des polynômes, Mathématiques, Polynôme, Théorème de d'Alembert-Gauss, Équation du second degré, Équation polynomiale