Espace vectoriel normé
La notion d'espace vectoriel normé, très utile en analyse fonctionnelle, a notamment été développé par David Hilbert et Stefan Banach.
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Définition
Un espace vectoriel normé est la donnée d'un espace vectoriel E et d'une norme 
sur E. On notera (E,) le couple formé par l'espace vectoriel et sa norme.
Topologie d'un espace vectoriel normé
On peut, à partir de la norme sur l'espace vectoriel E , construire une distance d. En effet, on la définit par :
On vérifie aisément que les trois axiomes qui définissent une distance sont vérifiés.
On munit alors l'ensemble E de la topologie associée à l'espace métrique (E,d).
Espace vectoriel normé de dimension fini
Soit E un espace vectoriel normé de dimension fini, alors :
- Toutes les normes sur E sont équivalentes.
- E est complet.
- Les parties compactes de E sont les fermés bornés.
- La boule unité de E est compacte.
- Toute application linéaire de E dans un espace vectoriel normé quelconque est continue.
Théorème de Riesz
- Si la boule unité d'un espace vectoriel normé E est compacte, alors E est de dimension finie.