Espace vectoriel

Sommaire

2.1 Combinaison linéaire
2.2 Définition
2.3 Propriété fondamentale
2.4 Somme de deux sous-espaces vectoriels
2.5 Sous-espace vectoriel engendré
2.6 Propriétés de Vect(A)

3 Familles libres et génératrices, bases

3.1 Propriété et définition

4 Espace dual

5 Exemples

6 Voir aussi

Définition

Un espace vectoriel E sur un corps (commutatif) $\mathbb{K}$ ou, plus précisément, ( $\mathbb{K}$ , + , x ) , est un ensemble muni de deux lois, l'une interne notée « + » (attention à ne pas la confondre avec la première loi du corps $\mathbb{K}$ ) , et l'autre externe notée « • », qui vérifient les propriétés suivantes :

( E , + ) est un groupe commutatif, c'est-à-dire :
- la loi « + » est associative :

$\forall \vec u \in E , \ \forall \vec v \in E , \ \forall \vec w \in E , \ ( \vec u + \vec v ) + \vec w = \vec u + ( \vec v + \vec w ) \,$

- la loi « + » est unifère , elle a un élément neutre :

$\exists \vec 0 \in E /\, \ \forall \vec u \in E , \ \vec 0 + \vec u = \vec u + \vec 0 = \vec u \,$

- la loi « + » est inversible, tout élément de E a un opposé :

$\forall \vec u \in E , \ \exists (- \vec u) \in E /\, \ \vec u + (-\vec u) = (-\vec u) + \vec u = \vec 0 \,$

- la loi « + » est commutative :

$\forall \vec u \in E , \ \forall \vec v \in E , \ \vec u + \vec v = \vec v + \vec u \,$

la loi « • » permet à d'opérer sur E, grâce aux quatre axiomes suivants :
- l'élément unité « 1 » du corps $\mathbb{K}$ est neutre à gauche pour la loi « • » :

$\forall \vec u \in E , \ 1 \cdot \vec u = \vec u \,$

- la loi « • » est distributive à gauche par rapport à l'addition de E :

$\forall \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall \vec u \in E , \ \forall \vec v \in E , \ \lambda \cdot ( \vec u + \vec v ) = ( \lambda \cdot \vec u ) + ( \lambda \cdot \vec v ) \,$

- la loi « • » est exodistributive à droite par rapport à l'addition du corps $\mathbb{K}$ :

$\forall \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall \mu \in \mathbb{K} , \ \forall \vec u \in E , \ ( \lambda + \mu ) \cdot \vec u = ( \lambda \cdot \vec u ) + ( \mu \cdot \vec u ) \,$

- la loi « • » est exoassociative par rapport à la multiplication du corps $\mathbb{K}$ ( elle l'« importe » dans l'espace vectoriel) :

$\forall \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall \mu \in \mathbb{K} , \ \forall \vec u \in E , \ ( \lambda \times \mu ) \cdot \vec u = \lambda \cdot ( \mu \cdot \vec u ) \,$

On appelle les éléments de $\mathbb K$ des scalaires, par opposition aux éléments de E, qui sont appelés vecteurs.

La loi « • » devrait en réalité vérifier 6 axiomes : 3 pour régler ses rapports avec les 3 autres lois impliquées, et 3 pour régler son comportement vis-à-vis de leurs 3 éléments neutres. Cependant, seuls quatre de ces six axiomes sont indépendants entre eux. Les deux « axiomes » suivants se déduisent en fait des précédents :

- l'élément zéro « 0 » du corps $\mathbb{K}$ est exoabsorbant à gauche pour la loi « • » :

$\forall \vec u \in E , \ 0 \cdot \vec u = \vec 0 \,$

- l'élément neutre de l'addition vectorielle est absorbant à droite pour la loi « • » :

$\forall \lambda \in \mathbb{K} , \ \lambda \cdot \vec 0 = \vec 0 \,$

Sous-espace vectoriel

Combinaison linéaire

Soient $(\lambda_i)_{i\in I}$ une famille presque nulle de scalaires et $(x_i)_{i\in I}$ une famille de vecteurs.

La combinaison linéaire de la famille $(x_i)_{i\in I}$ , de coefficients $(\lambda_i)_{i\in I}$ , est le vecteur : $\sum_{i\in I}\lambda_i \cdot x_i$

Un espace vectoriel est donc par définition stable par combinaisons linéaires.

Définition

Soit E un $\mathbb K$ -espace vectoriel et F un sous-ensemble de E .

On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si :

Les lois « + » et « • » peuvent être induites sur F , et F muni de ces lois induites est un $\mathbb K$ -espace vectoriel.

Propriété fondamentale

F est un $\mathbb K$ -sous-espace vectoriel de E ssi :

$F \ne \emptyset \,$ ;
$\forall \vec u \in F , \ \forall \vec v \in F , \ \vec u + \vec v \in F \,$ ;
$\forall \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall \vec u \in F , \ \lambda \cdot \vec u \in F \,$ .

Ce qui équivaut à :

$F \ne \emptyset \,$ ;
$\forall \vec u \in F, \ \forall \vec v \in F, \ \forall \lambda \in \mathbb{K}, \ \lambda \cdot \vec u + \vec v \in F\,$ .

En d'autres termes, F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement s'il n'est pas vide et s'il est stable par combinaisons linéaires.

Somme de deux sous-espaces vectoriels

Soient $F_1\quad$ et $F_2\quad$ deux sous-espaces vectoriels de E.

$F_1 + F_2 = \{x_1 + x_2, x_1 \in F_1, x_2 \in F_2\}$
$F_1 + F_2\quad$ est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant à la fois $F_1\quad$ et $F_2\quad$
$F_1 + F_2\quad$ est le plus petit sous espace vectoriel de E contenant à la fois $F_1 \quad$ et $F_2\quad$

Sous-espace vectoriel engendré

Soit $A \subset E$ une partie quelconque non vide de E.
$\mbox{Vect}\,(A) = \{ \sum_{i=1}^n {\lambda}_i.x_i/\; {\lambda}_i \in \mathbb K, x_i \in A \}$
C'est-à-dire que $\mbox{Vect}\,(A)$ est l'ensemble des combinaisons linéaires en les éléments de A.
$\mbox{Vect}\,(A)$ est le plus petit sous-espace vectoriel contenant A.

Propriétés de Vect(A)

Soit A et B deux parties de E.

A est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si $\mbox{Vect}\,(A) = A$
$\mbox{Vect}((\mbox{Vect}\,(A)) = \mbox{Vect}\,(A)$
$\mbox{Vect}\,(A \cup B) = \mbox{Vect}\,(A) + \mbox{Vect}\,(B)$

Familles libres et génératrices, bases

Une famille d'éléments de E est dite libre lorsque toute combinaison linéaire à coefficients non-nuls (c'est-à-dire que les coefficients ne sont pas tous nuls) est non-nulle. C'est une condition de minimalité, car lorsqu'une famille n'est pas libre, cela signifie qu'un de ses éléments peut s'exprimer en termes d'autres éléments, donc qu'il est « en trop ».

Une famille est dite génératrice lorsque tout élément de E peut s'écrire sous la forme d'une combinaison linéaire d'éléments de cette famille. C'est une condition de maximalité, car cela signifie que la famille porte en elle suffisamment d'information pour reconstituer tout l'espace.

On appelle base de l'espace vectoriel toute famille libre et génératrice. Une base est donc assez grande pour engendrer l'espace, mais pas trop grande pour ne pas faire apparaître de relations entre éléments.

Une famille B est une base de l'espace vectoriel E si et seulement si tout élément de E s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de B. Les coefficients de cette combinaison linéaire sont alors appelées composantes de l'élément considéré dans la base B.

L'application qui à un vecteur associe ses composantes dans une base est linéaire. La composante de la somme de deux vecteurs est la somme 2 à 2 de chaque couple de composantes. Les composantes du produit externe d'un scalaire et d'un vecteur sont le produit de chaque composante par ce même scalaire. On représente traditionellement les composantes d'un vecteur sous la forme d'une matrice verticale comprenant une seule colonne et autant de lignes que le nombre d'éléments de la base.

Propriété et définition

Si un espace vectoriel E admet une base ayant un nombre fini d'éléments d, alors toute base de E a ce même cardinal d. L'entier d est appelé la dimension de E, notée « dim E » , et E est dit espace vectoriel de dimension finie.

Si E est un espace vectoriel de dimension finie n, alors toute partie génératrice de E a au moins n éléments, toute partie libre de E a au plus n éléments, et toute base de E a exactement n éléments.

Espace dual

Voir Espace dual

Exemples

L'ensemble $\mathbb C$ des nombres complexes muni de l'addition des complexes et du produit par un réel, est un $\mathbb R$ -espace vectoriel de dimension 2.

L'ensemble $\mathbb R^n$ des n-uplets de réels est un espace vectoriel sur $\mathbb R$ de dimension n. Plus généralement, si $\mathbb K$ est un corps, l'ensemble $\mathbb K^n$ des n-uplets d'éléments de $\mathbb K$ est un espace vectoriel sur $\mathbb K$ de dimension n.

L'ensemble $\mathbb R^{\mathbb N}$ des suites réelles est un espace vectoriel de dimension infinie. Plus généralement, si $\mathbb K$ est un corps, il en est de même de l'ensemble $\mathbb K^{\mathbb N}$ des suites d'éléments de $\mathbb K$ . L'ensemble des suites nulles à partir d'un certain rang en forme un sous-espace vectoriel.

L'espace des fonctions continues d'un intervalle I à valeurs dans $\mathbb R$ est un espace vectoriel. L'ensemble des fonctions dérivables en forme un sous-espace vectoriel.

Voir aussi

Vecteur
Structure algébrique
Somme d'espaces vectoriels

Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre linéaire	Modifier
Espace vectoriel \| Base \| Dimension \| Matrice \| Décomposition matricielle \| Application linéaire \| Déterminant \| Trace \| Rang \| Réduction d'endomorphisme \| Valeur propre \| Polynôme caractéristique \| Forme linéaire \| Espace dual \| Orthogonalité \| Produit scalaire \| Produit vectoriel

Espace vectoriel

Définition

Sous-espace vectoriel

Combinaison linéaire

Définition

Propriété fondamentale

Somme de deux sous-espaces vectoriels

Sous-espace vectoriel engendré

Propriétés de Vect(A)

Familles libres et génératrices, bases

Propriété et définition

Espace dual

Exemples

Voir aussi

See also: Espace vectoriel, Addition, Algèbre linéaire, Application linéaire, Associativité, Axiome, Base (algèbre linéaire), Commutativité, Corps (mathématiques)