Espace projectif
En mathématiques, un espace projectif est une construction fondamentale à partir de n’importe quel espace vectoriel.
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Détails
Un espace projectif généralise le plan projectif qui peut être construit d’un espace vectoriel à trois dimensions, sur n’importe quel corps.
Alors que la théorie des plans projectifs a un aspect qui dépend de la combinatoire aussi, ce qui est absent dans le cas général. L’espace projectif est la base dans la géométrie algébrique, à travers le champ riche de la géométrie projective développée au XIXe siècle mais aussi dans les constructions de la théorie moderne (basée sur l’Algèbre classée). Les espaces projectifs et leur généralisation à des sous-espaces imbriqués joue aussi une grande part en topologie, la théorie du groupe Lie et des groupes algébriques, et leur théorie de représentation.
La construction de base, donné un espace vectoriel V sur un corps K, est de former l’ensemble des classes d’équivalence des vecteurs non-zéro en V sous la relation de la proportionnalité scalaire: nous considérons v étant proportionnel à w si v = cw avec c dans K non-zéro.
Cette idée remonte comme on s'en doute aux descriptions mathématiques de la perspective. Si le corps K est celui des nombre réel, et V a la dimension n, alors l’espace projectif P(V) - ce pour quoi nous pouvons parler est l’espace des lignes à travers l’élément zéro 0 de V - porte une structure naturelle d’un multiple souple d’un espace compact de dimension n − 1. Il est aussi hautement symétrique, depuis que n’importe quel automorphisme linéaire de V atteint une symétrie de P(V). C’est dans les exemples classiques identifiés avec 'perspectivité' et 'projectivité' transformations décrient géométricalement, et compte pour le nom. Le groupe de ces symétries est le quotient du groupe général linéaire de V par le sous groupe de scalaire non-zéro multiples de l’identité.
Avantage pour la considération des infinis
L’utilisation d’espaces projectifs rend assez rigoureux la discussion à propos d’une ligne à l’infini (où les lignes parallèles se rencontrent), ou un plan à l’infini pour trois dimensions: une translation de ce dernier peut être fait comme part de l’espace projectif associé à un espace vectoriel réel à quatre dimensions. De cette manière les idées géométriques introduites par Poncelet et d’autres devient une partie de la théorie fondée sur l’algèbre linéaire. La part d’un espace projectif qui ne soit pas à l’infini est appelé espace affine; mais les symétries de P(V) ne respectent pas cette division. L’utilisation d’une base de V permet, si requis, l’introduction de coordonnées homogènes pour l’exécution des calculs concrets.
L’utilisation d’espaces vectoriels sur le corps des nombres complexes fait apparaître différentes variétés, aussi utilisé par les géomètres. Il y a de bonnes raisons pour les utiliser, afin d’obtenir une théorie avec des propriétés prévisibles. Dans la théorie d’Alexandre Grothendieck il y a des raisons pour appliquer la construction souligné au-dessus plutôt que l’espace dual V*.
Concrètement
- On obtient un espace projectif en ajoutant une coordonnée supplémentaire à celle d'un espace ordinaire; exemple : trois pour un espace à deux dimensions; quatre pour un espace à trois dimensions; etc. Ainsi le point de coordonnées (x,y,z) en 3D aura en représentation projective les coordonnées (x,y,z,1). Le point à l'infini de l'axe des x les coordonnées (1,0,0,0).
- Cette disposition permet d'éviter des traitements particuliers pour les points à l'infini (qui sont ceux dont la quatrième coordonnée est 0).
- Les systèmes de traitement graphique GL et OpenGL, de SGI, utilisent des espaces projectifs pour représenter les informations spatiales en ordinateur.
Point amusant
Toute variété kahlérienne à courbure nulle et à courbure scalaire positive est isomorphe au projectif complexe, selon une communication rendue publique par l'Académie des Sciences dans les années 1970.
voir aussi
- Ligne projective
- Plan projectif, Plan projectif réel, Plan projectif complexe
- Espace projectif complexe
- Transformation projective
- Groupe linéaire projectif
- Espace projectif Hilbert
- Représentation projective