Espace affine

Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d’Euclide par l' axiome des Parallèles. Elles remettaient en cause les notions de longueur et d’angle, qui reposaient elles-mêmes sur celle de distance, et poussèrent à redéfinir l’espace euclidien, en excluant ces notions et tout ce qui s’y rapportait. Le résultat fut une géométrie affine, où l’espace apparait comme une structure algébrique, voisine de celle d’espace vectoriel qui en fut dégagée par la suite (donnant ainsi naissance à l’algèbre linéaire).

Sommaire

1 Définitions

1.1 Définition « naturelle »
1.2 Définition « algébrique »
1.3 Définition « géométrique »

2 Vocabulaire et notations

3 La relation de Chasles, corollaire de la définition

4 Structure affine d’un espace vectoriel

5 Sous-espace affine et direction

6 Notions connexes

Définitions

Il existe de nombreuses manières de définir un espace affine. Dans tous les cas, nous supposerons donnés :

un corps ( $\mathbb{K}$ , + , x ) , noté « $\mathbb{K}$ » en abrégé , d'éléments neutre « 0 » pour la loi additive et « 1 » pour la loi multiplicative;

les éléments du corps seront appelés « scalaires » et notés par des lettres grecques minuscules : λ , μ ,...

un espace vectoriel ( E , $\ ^{\dot +}$ , · ) sur ce corps, noté « E » en abrégé , d'élément neutre « $\ ^{\vec 0}$ » ;

les éléments de l'espace vectoriel seront appelés « vecteurs » et notés par des lettres latines minuscules surmontées d'une flèche : $\vec u$ , $\vec v$ ,...

et un ensemble A non vide, le futur espace affine;

ses éléments seront appelés « points » et notés par des lettres latines majuscules non grasses : P , Q ,...

Pour un premier groupe de définitions, l'idée sous-jacente est de transférer la structure d'espace vectoriel à l'ensemble A grâce à une application entre E et A possédant des propriétés adéquates.

Définition « naturelle »

Cette définition fait appel au carré cartésien de A, dont les éléments sont appelés traditionnellement bipoints.

Un espace affine est ainsi un ensemble A muni d'une relation scalaire φ de A×A dans E vérifiant les propriétés suivantes :

C1 : φ est une application ; cette propriété se décompose en deux parties :

C1a : φ est fonctionnelle :

$\forall\ ( P , Q ) \in A^2 , \forall\ ( \vec u , \vec v ) \in E^2 ,\ [ \ ( P , Q ) \varphi \vec u \wedge ( P , Q ) \varphi \vec v \ ] \Rightarrow [ \ \vec u = \vec v \ ] \,$

Nous utiliserons donc à partir d'ici une variante de la notation fonctionnelle pour φ :

$\ [ \ ( P , Q ) \varphi \vec u \ ] \Leftrightarrow [ \ \vec u = \varphi ( P , Q ) \ ] \Leftrightarrow [ \ \vec u = \overrightarrow {P Q\ } \ ] \,$

C1b : φ est applicative :

$\forall\ ( P , Q ) \in A^2 , \exists\ \vec u \in E \,/\ \vec u = \overrightarrow {P Q\ } \,$

C2 : la RTID de φ est fonctionnelle :

$\forall\ ( P , Q , R ) \in A^3 ,\ [ \ \overrightarrow {P Q\ } = \overrightarrow {P R\ } \ ] \Rightarrow [ \ Q = R \ ] \,$

C3 : la RTID de φ est applicative :

$\forall\ P \in A , \forall\ \vec u \in E , \exists\ Q \in A \,/\ \vec u = \overrightarrow {P Q\ } \,$

Attention à ne pas confondre les propriétés C3 et C1b !

La propriété C3 implique que φ est surjective.

C4 : φ vérifie la relation de Chasles:

$\forall\ ( P , Q , R ) \in A^3 ,\ \overrightarrow {P Q\ } \dot + \ \overrightarrow {Q R\ } = \overrightarrow {P R\ } \,$

La propriété C4 a pour conséquence :

$\forall\ P \in A ,\ \overrightarrow {P P\ } = \vec 0 \,$

qui peut aussi se formuler :

$\forall\ ( P , Q ) \in A^2 ,\ [ \ P = Q \ ] \Rightarrow [ \ \overrightarrow {P Q\ } = \vec 0 \ ] \,$

En résumé, φ est une sorte de « morphisme » entre A² et E :

- c'est une application;

- sa RTID est aussi une application;

- elle vérifie une sorte de « linéarité » : la relation de Chasles

Il existe une variante équivalente de cette définition où la propriété C2 est remplacée par :

C5 : tout bipoint dont l'image par φ est le vecteur nul est de la forme ( P , P ) :

$\forall\ ( P , Q ) \in A^2 ,\ [ \ \overrightarrow {P Q\ } = \vec 0 \ ] \Rightarrow [ \ P = Q \ ] \,$

Cette propriété est l'implication réciproque de la conséquence de C4 ci-dessus.

Définition « algébrique »

Un espace affine est aussi un ensemble A muni d'une relation ternaire externe dans A à opérateurs à droite dans E ( c'est-à-dire d'une correspondance de A×E dans A ), que nous noterons « $\ ^{\ddot +} \,$ » , et qui vérifie les propriétés suivantes :

L1 : $\ ^{\ddot +} \,$ est une application, donc une loi externe; cette propriété peut se scinder en deux parties :

L1a : $\ ^{\ddot +} \,$ est fonctionnelle :

$\forall\ ( P , Q , R ) \in A^3 , \forall\ \vec u \in E ,\ [ \ ( P , \vec u ) \ddot + Q \wedge ( P , \vec u ) \ddot + R \ ] \Rightarrow [ Q = R \ ] \,$

Nous pouvons donc utiliser à partir d'ici une notation fonctionnelle infixée pour $\ ^{\ddot +} \,$ ( notation de Grasmann ) :

$\ [ \ ( P , \vec u ) \ddot + Q \ ] \Leftrightarrow [ \ Q = P \ \ddot + \ \vec u \ ] \,$

L1b : $\ ^{\ddot +} \,$ est applicative :

$\forall\ P \in A , \forall\ \vec u \in E , \exists\ Q \in A \,/\ Q = P \ \ddot + \ \vec u \,$

L2 : $\ ^{\ddot +} \,$ est régulière à gauche (ou sa RTID est fonctionnelle) :

$\forall\ ( \vec u , \vec v ) \in E^2 , \forall\ P \in A , [ \ P \ \ddot + \ \vec u = P \ \ddot + \ \vec v \ ] \Rightarrow [ \ \vec u = \vec v \ ] \,$

L3 : la RTID de $\ ^{\ddot +} \,$ est applicative :

$\forall\ ( P , Q ) \in A^2 , \exists\ \vec u \in E \,/\ P \ \ddot + \ \vec u = Q \,$

L4 : $\ ^{\ddot +} \,$ est exo-associative par rapport à l'addition dans E , $\ ^{\dot +} \,$ :

$\forall\ P \in A , \forall\ ( \vec u , \vec v ) \in E , ( P \ \ddot + \ \vec u ) \ \ddot + \ \vec v = P \ \ddot + \ ( \vec u \dot + \vec v ) \,$

En résumé, $\ ^{\ddot +} \,$ est une sorte de « morphisme » entre A × E et A :

- c'est une application;

- sa RTID est aussi une application;

- elle vérifie une sorte de « linéarité » : l'exo-associativité

Il existe une variante équivalente de cette définition où la propriété L2 est remplacée par :

L5 : $\ ^{\ddot +} \,$ est exo-unifère :

$\forall\ \vec u \in E , \forall\ P \in A ,\ [ \ P \ \ddot + \ \vec u = P \ ] \Rightarrow [ \ \vec u = \vec 0 \ ] \,$

Définition « géométrique »

Dans ce qui suit, A^A désigne l'ensemble des permutations de A, c'est-à-dire des bijections de A dans A.

Un espace affine est alors un ensemble A muni d'une correspondance de E dans A^A , que nous noterons « T » , et qui vérifie les propriétés suivantes :

T1 : T est une application, c'est-à-dire une action de E dans A; cette propriété peut se scinder en deux parties :

T1a : T est fonctionnelle :

$\forall\ \vec u \in E , \forall\ ( t_1 , t_2 ) \in (A^A)^2 ,\ [ \ \vec u \ \top\ t_1 \wedge \vec u \ \top\ t_2 \ ] \Rightarrow [ \ t_1 = t_2 \ ] \,$

Nous pouvons donc utiliser à partir d'ici une notation fonctionnelle pour T :

$\ [ \ \vec u \ \top\ t \ ] \Leftrightarrow [ \ t = \top ( \vec u ) \ ] \,$

T1b : T est applicative :

$\forall\ \vec u \in E , \exists\ t \in A^A ,\ t = \top ( \vec u ) \,$

T2 : T est opérative; là encore, cette propriété se scinde en deux parties :

T2a :

$\forall\ ( \vec u , \vec v ) \in E^2 ,\ [ \ T ( \vec u \dot + \vec v ) = T ( \vec u ) \circ T ( \vec v ) \ ] \,$

T2b :

$\ T ( \vec 0 ) = Id_A \,$

T3 : T est fidèle (ou injective) :

$\forall\ ( \vec u , \vec v ) \in E^2 ,\ [ \ T ( \vec u ) = T ( \vec v ) \ ] \Rightarrow [ \ \vec u = \vec v \ ] \,$

T4 : T est transitive (ou les images de T sont surjectives) :

$\forall\ ( P , Q ) \in A^2 , \exists\ \vec u \in E /\ T ( \vec u ) ( P ) = Q \,$

L'image par T d'un vecteur $\vec u$ est appelée translation dans A de vecteur $\vec u$ , et notée habituellement « $t_{\vec u} \,$ ». C'est une bijection de A dans A.

Vocabulaire et notations

Le vecteur $\vec u \in$ E tel que $P + \vec u = Q$ , où P et Q sont des points quelconques de A , se note :

$Q - P = \overrightarrow{P\,Q} \,$

On appelle dimension de A , la dimension de E

L’espace vectoriel E s’appelle la direction de l’espace affine A

La relation de Chasles, corollaire de la définition

Si P , Q et R sont trois points quelconques de A , alors :

$\overrightarrow{P Q} + \overrightarrow{Q R} = \overrightarrow{P R}$

( c’est la relation de Chasles )

Structure affine d’un espace vectoriel

Un espace vectoriel peut être considéré comme un espace affine associé à lui-même.

Sous-espace affine et direction

Si F est un sous-espace vectoriel de E , et si P est un point de A , alors l’ensemble B = P + F , c’est-à-dire l'ensemble $\{P + \vec u \;|\; \vec u \in F \}$ , est un espace affine associé à l’espace vectoriel F . On dit que B est un sous-espace affine de A.

Le sous-espace vectoriel F s’appelle la direction de B , de même que l’espace vectoriel E est la direction de A.

Notions connexes

La géométrie affine est tout simplement l’étude des espaces affines
Une application affine est un morphisme d’espace affine
C’est dans un espace affine que l’on peut parler de parallélisme