Équation diophantienne

En mathématiques, une équation diophantienne est une équation entre deux polynômes à coefficients entiers avec un nombre quelconque d'inconnues. Un problème diophantien veut dire une équation diophantienne, où des nombres entiers mis pour les inconnues, fournissent les solutions qui satisfont l'équation.

L'exemple le plus simple : $3^2 + 4^2 = 5^2\,$

Une équation diophantienne linéaire est une équation entre deux sommes de monômes de degrés zéro ou un.

Ce type d'équation doit son nom au mathématicien grec Diophante (IV^e siècle av. J.-C.).

Sommaire

1 Exemples d'équations diophantiennes

2 Résolution d'une équation diophantienne

3 Relation avec la géométrie

3.1 Le dixième problème de Hilbert
3.2 Recherche moderne

4 Liens externes

Exemples d'équations diophantiennes

$ax + by = 1\,$ : voir l'identité de Bézout ; ceci est une équation diophantienne linéaire.
$x^n + y^n = z^n\,$ : pour n = 2, il existe beaucoup de solutions (x,y,z), les triplets pythagoriciens. Pour de plus grandes valeurs de n, le dernier théorème de Fermat établit qu'il n'existe pas de solution en nombre entier x, y, z satisfaisant à l'équation ci-dessus.
$x^2 - ny^2 = 1\,$ : (équation de Pell) qui est nommé, improprement, en l'honneur du mathématicien anglais John Pell. Elle fut étudiée par le mathématicien français Fermat.
$\sum_{i=0}^n{a_i x^i y^{n-i}} = c$ , où $n \geq 3$ et $c \not= 0$ : ce sont les équations de Thue, et sont, en général, résolvables.

Résolution d'une équation diophantienne

Soit $ax+by=c,\ a,b,c\in\mathbb Z$ , une équation diophantienne d'inconnues $x,y\,$ , on note $\mathcal S$ l'ensemble de ces solutions. $\mathcal S\not=\emptyset$ si et seulement si le pgcd de $a\,$ et $b\,$ divise c : $a\wedge b|c$ . Supposons $\mathcal S\not=\emptyset$ . On peut simplifier l'équation par $a\wedge b$ . On a alors

$a'x+b'y=c',\ a'\wedge b'=1$ .

Considérons l'équation homogène

$a'x+b'y=0\,$ . On a

$\mathcal S_H=\big\{(-b'k,a'k),\ k\in\mathbb Z\big\}$ .

Soit

$(x_0,y_0)\in\mathcal S$

une solution particulière. On peut obtenir cette solution en considérant la relation de Bézout associée à $a'\,$ et $b'\,$ :

$a'u+b'v=1\,$ car $a'\wedge b'=1$ . En multipliant par $c'\,$ , on a :

$(x_0,y_0)=(uc',vc')\in\mathcal S$ .

On a alors

$\mathcal S=\big\{(x_0-b'k,y_0+a'k),\ k\in\mathbb Z\big\}=\big\{(x_0-\frac{b}{a\wedge b}k,y_0+\frac{a}{a\wedge b}k),\ k\in\mathbb Z\big\}$

Relation avec la géométrie

La résolution d'une équation diophantienne permet d'obtenir un système du type
$\left\{\begin{matrix} x = a + bk \\ y = a' + b'k\end{matrix}\right. \quad k \in \mathbb{Z}$

Cependant, lorsque k parcourt $\mathbb{R}$ , ce système est également la représentation paramétrique d'une droite; lorsque k parcourt un intervalle, c'est la représentation paramétrique soit d'un segment, soit d'une demi-droite. En connaissant ces différentes figures, on peut en déduire l'ensemble des solutions de l'équation diophantienne considérée : c'est l'ensemble des coordonnées des points situés sur la figure et dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Le dixième problème de Hilbert

Ces problèmes traditionnels sont posés et souvent non-résolus pour des siècles, les mathématiciens d'ailleurs en viennent graduellement à les comprendre dans leur profondeur (dans certains cas), plutôt que les traiter comme des puzzles. En 1900, en reconnaissance de leur profondeur, Hilbert proposa la résolubilité de tous les problèmes diophantiens comme le dixièmes de ses célèbres problèmes. En 1970, un nouveau résultat en logique mathématique connu sous le nom de théorème de Matiyasevich posa le problème négativement : en général les problèmes diophantiens ne sont pas résolubles. Le point de vue de la géométrie diophantienne, qui est une application des techniques de la géométrie algébrique dans ce domaine, a continué de croître comme résultat ; puisqu'en traitant arbitrairement les équations, cela mène à une impasse, l'attention se tourne vers les équations qui ont aussi un sens géométrique.

Recherche moderne

Une des approches générales est à travers le principe de Hasse. La descente infinie est la méthode traditionnelle, et à été poussée très loin.

La profondeur de l'étude des équations diophantiennes générales est montrée par la caractérisation des ensembles diophantiens comme récursivement énumérables.

Le domaine de l'approximation diophantienne a à voir avec les cas d'inégalités diophantiennes : les variables sont toujours supposées être entières, mais certains coefficients peuvent être des nombres irrationnels, et le signe de l'égalité est remplacé par des bornes supérieures et inférieures.

Liens externes

Diophantine Equation. From MathWorld at Wolfram Research.
Diophantine Equation. From PlanetMath.

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