Équations de Maxwell

Les équations de Maxwell sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l'électromagnétisme (avec l'expression de la force électromagnétique, de l'énergie électromagnétique et diverses conventions).

Sommaire

1 Historique

2 Equations de Maxwell

2.1 Equation de Maxwell-Gauss
2.2 Equation de Maxwell-Faraday
2.3 Equation de Maxwell de conservation du flux
2.4 Equation de Maxwell-Ampère

3 Formulation tensorielle

Historique

Maxwell a réuni des lois expérimentales trouvées par ses prédécesseurs (lois de l'électrostatique, du magnétisme, de l'induction...), il les a remises en forme et les a exprimées sous une forme différentielle. Elles furent publiées dans leur forme définitive en 1873, dans l'ouvrage Electricity and Magnetism. Ce « travail de copiste » a en fait provoqué les deux plus grandes avancées de la science moderne, puisque les équations de Maxwell sont à l'origine de la théorie de la relativité restreinte et de la physique quantique.

En effet, les équations de Maxwell permettent de prédire l'existence d'une onde électromagnétique, c'est-à-dire que la modification d'un des paramètres (densité de charge, intensité du courant...) va avoir des répercussions à distance avec un certain retard. Or, la vitesse de ces ondes, c, calculée avec les équations de Maxwell, est égale à la vitesse de la lumière qui a été mesurée expérimentalement. Cela a permis de conclure que la lumière était une onde électromagnétique. L'étude de la lumière et des ondes électromagnétiques, avec notamment les travaux de Max Planck sur le corps noir et d'Heinrich Hertz sur l'effet photo-électrique donna naissance à la théorie quantique.

Le fait que c soit la même dans toutes les directions et indépendante du référentiel, conclusion que l'on tire de ces équations, est un des fondement de la théorie de la relativité. En fait, on remarque que si l'on change de référentiel, le changement de coordonnées classique ne s'applique pas aux équations de Maxwell, il faut utiliser une autre transformation, la transformation de Lorentz. Einstein a essayé d'appliquer les transformations de Lorentz à la mécanique classique, et cela l'a conduit à la théorie de la relativité restreinte.

Equations de Maxwell

Les équations de Maxwell sont en fait la forme locale des différents théorèmes (Gauss, Ampère, Faraday) qui régissaient l'électromagnétisme avant Maxwell, mais qui n'étaient que les formes intégrales de ces équations :

Equation de Maxwell-Gauss

Cette équation, héritée du théorème de Gauss, permet de lier le flux du champ électrique à travers une surface à la charge intérieure à cette surface.

$\mathrm{div}\ \overrightarrow{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

Forme intégrale :

Théorème de Gauss :

$\int\!\!\!\int_{\Sigma}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{n}\mathrm{d}^2S=\frac{Q_{\Sigma}}{\varepsilon_0}$ avec $Σ$ une surface fermée appelée surface de Gauss.

En fait, ce théorème n'est utilisable que dans des cas très particuliers de symétrie (symétrie sphérique, cylindrique, plane) où il est possible de calculer le flux du champ à travers la surface de Gauss.

Equation de Maxwell-Faraday

Cette équation permet de définir le potentiel électrostatique $V$ (notamment utile en induction) tel que $\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\ V-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}$

$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\ \overrightarrow{E} = - \frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$

Equation de Maxwell de conservation du flux

Cette équation permet de définir un potentiel-vecteur magnétostatique $\overrightarrow{A}$ tel que $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\mathrm{rot}}\ \overrightarrow{A}$

$\mathrm{div}\ \overrightarrow{B} = 0$

Equation de Maxwell-Ampère

Cette équation, héritée du théorème d'Ampère, lie la circulation du champ magnétique sur un contour $C$ fermé, et les courants qui traversent la surface s'appuyant sur ce contour.

$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\ \overrightarrow{B} = \mu_0 \overrightarrow{j} + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$

Forme intégrale : théorème d'Ampère

$\oint_C \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}l} = \mu_0 \int_{S}\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{n} \cdot \mathrm{d}^2S + \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\int_{S}\overrightarrow{E} \cdot\overrightarrow{n}\mathrm{d}^2S$

où $ρ$ est la densité de charge électrique, $\mathbf j$ la densité de courant, $\mathbf E$ le champ électrique, $\mathbf B$ le champ magnétique, $\varepsilon_0$ la permittivité du vide et $μ 0$ la perméabilité diamagnétique du vide.

Les équations précédentes s'appellent respectivement « équation de Maxwell-Gauss », « équation de Maxwell-Faraday », « équation de conservation du flux magnétique » et « équation de Maxwell-Ampère ».

Formulation tensorielle

En posant

$A_{\mu} = (\frac{\phi}{c},\vec{A})$

où $\mathbf \phi$ et $\vec{A}$ sont tels que

$\vec{E} = -(\nabla\phi + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t})$

$\vec{B} = \vec{rot}(\vec{A})$

Les équations de Maxwell deviennent

${J_i} = \frac{\partial F^{ij}}{\partial x^i}$ avec i,j = 0..3

où

$\mathbf J_0 = \mathbf {\rho}c$ (la densité de charge)

$\vec{J} = (J_1,J_2,J_3)$ (le courant de charge)

$F^{\alpha\beta} = \partial^{\alpha} A^{\beta} - \partial^{\beta} A^{\alpha} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{-E_x}{c} & \frac{-E_y}{c} & \frac{-E_z}{c} \\ \frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \\ \end{pmatrix}$

Les équations de Maxwell s'écrivent sous forme relativiste covariante :

$\partial_{\alpha}F^{\alpha\beta}=\mu_{0}j^{\beta}$

$\partial_{\alpha}F_{\beta\gamma}+\partial_{\gamma}F_{\alpha\beta}+\partial_{\gamma}F_{\alpha\beta}=0$