Équation différentielle linéaire d'ordre deux

Les équations différentielles linéaires d'ordre deux sont des équations différentielles de la forme

a y'' + b y' + c y = d

où a, b, c et d sont des fonctions.

Les plus simples à résoudre sont les équations différentielles homogènes (où d = 0) à coefficients constants (où a, b, c sont des constantes)

Sommaire

1 Équation différentielle homogène

1.1 à coefficients constants

1.1.1 si Δ >0
1.1.2 Si Δ = 0
1.1.3 Si Δ < 0

1.2 Équation à coefficients non constants

2 Équation avec second membre

Équation différentielle homogène

à coefficients constants

Elles ont pour équation $a y'' + b y' + c y = 0$ où a, b et c sont des réels, a non nul.

On les rencontre, entre autres, dans la modélisation de mouvement avec retour (type ressort) avec ou sans amortissement. (voir Exemples d'équations différentielles).

On cherche des solutions sous forme exponentielle, c'est-à-dire telles que $f (x) = e λ x$ . Une telle fonction sera solution de l'équation différentielle si et seulement si λ est solution de $a λ 2 + b λ + c = 0$ . Cette équation est appelée équation caractéristique de l'équation différentielle.

Comme pour toute équation du second degré, trois cas se présentent selon le signe du discriminant.

si Δ >0

L'équation possède deux solutions $λ 1$ et $λ 2$ .

L'équation possède au moins deux fonctions exponentielles solutions $f_1(x) = e^{\lambda_1x}$ et $f_2(x) = e^{\lambda_2x}$ . On démontre que ces deux solutions engendrent l'ensemble des solutions. C'est-à-dire que l'ensemble des solutions sont les fonctions définies sur R par $f (x) = C 1 f 1 (x) + C 2 f 2 (x)$ où $C 1$ et $C 2$ sont deux réels quelconques.

Pour déterminer ces deux constantes, il faut deux informations, par exemple $y 0$ et $y' 0$ à l'instant $x 0$ ou bien $y 1$ et $y 2$ aux instants $x 1$ et $x 2$ .

Si Δ = 0

L'équation ne possède qu'une seule solution λ. On démontre alors que l'ensemble des solutions sont les fonctions f définies sur R par $f (x) = (A x + B) e λ x$ où A et B sont des réels quelconques.

Pour déterminer A et B, il faut, comme dans le cas précédent posséder deux informations sur f.

Si Δ < 0

L'équation ne possède pas de solutions réelles mais deux solutions complexes : $λ 1$ et $λ 2$ .

On démontre alors que l'ensemble des fonctions de R dans C solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies par $f (x) = C 1 f 1 (x) + C 2 f 2 (x)$ où $C 1$ et $C 2$ sont deux complexes quelconques et où $f_1(x) = e^{\lambda_1x}$ et $f_2(x) = e^{\lambda_2x}$ .

Si l'on cherche les fonctions de R dans R solutions de cette équation, il faut remarquer que $λ 1 = u + i v$ où u et v sont des réels. On démontre alors que l'ensemble des solutions sont les fonctions définies sur R par $f (x) = e u x (A cos(v x) + B sin(v x))$ où A et B sont deux réels quelconques.

La détermination de A et B se fait, comme dans les cas précédents, par la donnée de deux informations sur f.

Équation à coefficients non constants

à faire....

Équation avec second membre

Si l'équation différentielle possède un second membre (si d est une fonction non nulle), il suffit de trouver UNE solution de cette équation : $f 0$ pour les connaitres toutes. En effet, les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions $f 0 + g$ où g est une solution générale de l'équation homogène.

Le problème est souvent de déterminer cette solution particulière.

Si c est la somme de plusieurs fonctions $c 1$ et $c 2$ , on peut chercher une solution particulière de l'équation différentielle de second membre $c 1$ , puis une solution particulière de l'équation différentielle de second membre $c 2$ , puis faire la somme de ces deux solutions particulières. On obtient alors une solution particulière de l'équation de départ.

Si a, b et c sont des constantes, a non nul et si d est un fonction polynôme ou trigonométrique, on cherchera alors une solution particulière de la forme

d'un polynôme de degré n si d est un polynôme de degré n
d'une combinaison linéaire de cos(wx + f) et sin(wx+ f) si d(x) = Acos(wx + f) + Bsin(wx + f)