Équation d'onde

L'Équation d'onde est l'équation générale qui décrit la propagation d'une onde, qui peut être représentée par une grandeur scalaire ou vectorielle.

Dans le cas vectoriel, en espace libre, dans un milieu homogène, linéaire et isotrope, l'équation d'onde s'écrit :

$\nabla ^2 \vec E=\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2\vec E}{\partial t^2}$

$\vec E$ décrit à la fois l'amplitude de l'onde, et sa polarisation (par son caractère vectoriel). c est assimilable à la vitesse de propagation de l'onde, comme nous le verrons plus bas.

Si on s'intéresse à ce qui se passe pour chacune des composantes de $\vec E$ (en projetant la relation dans chacune des directions de l'espace), nous obtenons une équation portant sur un scalaire, appelée équation de D'Alembert :

$\nabla ^2 U=\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2 U}{\partial t^2}$

Intéressons nous à la propagation selon la seule direction $z$ :

$\frac {\partial ^2 U}{\partial z^2}=\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2 U}{\partial t^2}$

Pour une onde plane, la solution générale de cette équation est la somme de deux fonctions :

$U (z, t) = f (z - c t) + g (z + c t)$

En effet, on peut écrire :

$\left(\frac {\partial ^2}{\partial z^2}-\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2}{\partial t^2}\right) U(z,t) = 0$

soit :

$\left(\frac {\partial}{\partial z}-\frac {1}{c}\frac {\partial}{\partial t}\right)\left(\frac {\partial}{\partial z}+\frac {1}{c}\frac {\partial}{\partial t}\right) U(z,t) = 0$

Et si l'on pose a=z-ct et b=z+ct, on obtient :

$\left(\frac {\partial}{\partial a}\right)\left(\frac {\partial}{\partial b}\right) U(a,b) = 0$

Qui se résout en : $U (a, b) = f (a) + g (b)$ soit $U (z, t) = f (z - c t) + g (z + c t)$

Le premier terme est une onde se propageant dans le sens des z croissants (appelée onde progressive), et le deuxième terme dans le sens des z décroissants (appelée onde régressive).

Équation d'onde

See also: Équation d'onde, D'Alembert, Isotrope, Onde plane, Homogène