Équation de Laplace

Les solutions de l'équation de Laplace sont importantes dans de nombreuses branches de la science, notamment en électrostatique et en astronomie car elles décrivent le comportement des champs gravitationnel et électrostatique.

Dans un espace de dimension 3, le problème consiste à trouver toutes les fonctions à trois variables réelles $\varphi(x,y,z)$ qui vérifie :

${\partial^2 \over \partial x^2 }\varphi(x,y,z) + {\partial^2 \over \partial y^2 }\varphi(x,y,z) + {\partial^2 \over \partial z^2 }\varphi(x,y,z) = 0$

ce qui s'écrit aussi, en utilisant l'opérateur différentiel noté $Δ$ et appelé opérateur de Laplace ou simplement laplacien :

$\Delta \varphi = 0.$

Equation de Laplace à deux dimensions

On trouve dans Fonction holomorphe Toute fonction polynomiale à coefficients complexes est holomorphe sur $\mathbb C$ ; aussi le sont les fonctions trigonométriques et la fonction exponentielle. (Les fonctions trigonométriques sont en fait relativement proches de la fonction exponentielle puisqu'elles peuvent être définies à partir de celle-ci en utilisant les formules d'Euler).
La fonction logarithme est holomorphe sur l'ensemble des nombres complexes privé de la demi-droite des réels négatifs.
La fonction racine carrée peut être définie par

$\sqrt{z} = e^{{1 \over 2} \ln{z}}$

et est ainsi holomorphe partout où la fonction logarithme l'est.
La fonction inverse $z\mapsto 1/z$ est holomorphe sur $\mathbb C^*$ .
Les fonctions trigonométriques réciproques ont de la même manières des coutures et sont holomorphes partout sauf aux coutures. Dans un espace de dimension 2, le problème consiste à trouver toutes les fonctions à deux variables réelles $V (x, y)$ qui vérifie :

${\partial^2 \over \partial x^2 }V(x,y) + {\partial^2 \over \partial y^2 }V(x,y) = 0$

Or l'on montre que toute Fonction holomorphe donne des solutions de l'Equation de Laplace à deux dimensions par leur partie réelle et par leur partie imaginaire; de plus ces solutions sont orthogonales en tout point.

Toute fonction analytique est solution de l'équation de LAPLACE.

Par dérivation de F(z)=V(x,y)+ i Φ(x,y) et où z=x+iy on obtient que $\frac{\partial F}{\partial x}= F'(z)$ alors que $\frac{\partial F}{\partial y}= i F'(z)$ et donc $\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}= F''(z)$ alors que $\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}= -F''(z)$ et la somme est nulle et est donc solution de l'équation de LAPLACE: $\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}= F''(z)$ et $\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}= -F''(z)$ donc : $\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=0$ soit : $\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0$

et:

$\frac{\partial F}{\partial y}= i F'(x+iy)= \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} +i \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y}$

et

On en déduit: $\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y}$ et $\frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x}=-\frac{\partial V(x,y)}{\partial y}$

soit finalement: $\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}.\frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial V(x,y)}{\partial y}.\frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y} =0$ où On reconnait là le produit scalaire des deux vecteurs : $\vec grad (V) et \vec grad (\Phi)$

Les courbes à V(x,y)=constante et φ(x,y)=constante sont perpendiculaires (transformation conforme) Ce qui fait que si V(x,y)=constante représente les courbes de même potentiel alors φ(x,y)=constante représente les lignes de champs électrique en électrostatique

Equation de Poisson

Si le membre de droite est une fonction donnée $f (x, y, z)$ , on obtient l'équation de Poisson :

$\Delta \varphi = f$

Voir

Analyse complexe

Équation de Laplace

Equation de Laplace à trois dimensions

Equation de Laplace à deux dimensions

Equation de Poisson

Voir

See also: Équation de Laplace, Analyse complexe, Analyse vectorielle, Astronomie, Coefficient, Dimension, Electrostatique, Exponentielle, Fonction holomorphe