Équation aux dérivées partielles

NB : En cours de traduction d'après l'article anglais Partial differential equation


En mathématiques, plus précisément en calcul différentiel, une équation aux dérivées partielles ou équation différentielle partielle (EDP) est une équation dont les solutions sont les fonctions inconnues vérifiant certaines conditions concernant leurs dérivées partielles.

Une EDP a souvent de très nombreuses solutions, les conditions étant moins strictes que dans le cas d'une équation différentielle ordinaire (à une seule variable) ; les problèmes incluent souvent des conditions aux limites qui restreignent l'ensemble des solutions. Alors que les ensembles de solutions d'une équation différentielle ordinaire sont parametrées par un ou plusieurs paramètres correspondant aux conditions supplémentaires, dans le cas des EDP les conditions aux limites se présentent plutôt sous la forme de fonction ; intuitivement cela signifie que l'ensemble des solutions est beaucoup plus grand, ce qui est vrai dans la quasi-totalité des problèmes.

Les EDP sont omniprésentes dans les sciences, puisqu'elles apparaissent aussi bien en mécanique des fluides que dans les théories de la gravitation ou de l'électromagnétisme (équations de Maxwell). Elles sont primordiales dans des domaines tels que la simulation aéronautique, la synthèse d'images, ou la prévision météorologique. Enfin, les équations les plus importantes de la relativité générale et de la mécanique quantique sont également des EDP.

\Delta=\nabla^2
=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}
article d' analyse vectorielle
Équation aux dérivées partielles
Electrostatique
Équation de Laplace
Équation de Poisson
Electrostatique
Opérateurs
NABLA
Laplacien
Gradient
en théorie physique
groupe
physique mathématique
Modèle standard (physique)

Sommaire
1 Notations et exemples

1.1 Équation de Laplace
1.2 Équation de propagation (ou équation des cordes vibrantes)
1.3 Équation de Fourier

Notations et exemples

Pour les EDP, par souci de simplification, il est d'usage d'écrire u la fonction inconnue et Dxu (notation française) ou ux (notation anglo-saxonne, plus répandue) sa dérivée partielle par rapport à x, soit avec les notations habituelles du calcul différentiel :

u_x = {\part u \over \part x}

et pour les dérivées partielles secondes :

u_{xy} = {\part^2 u \over \part y\, \part x}

Équation de Laplace

L'équation de Laplace est une EDP de base très importante :

{\part^2 u \over \part x^2} + {\part^2 u \over \part y^2} + {\part^2 u \over \part z^2} = 0

où u(x,y,z) désigne la fonction inconnue

Équation de propagation (ou équation des cordes vibrantes)

Cette EDP décrit les phénomènes de propagation des ondes sonores et des ondes électromagnétiques (dont la lumière). La fonction d'onde inconnue est notée u(x,y,z,t), t représentant le temps :

{\part^2 u \over \part x^2} + {\part^2 u \over \part y^2} + {\part^2 u \over \part z^2} = {1 \over c^2} {\part^2 u \over \part t^2}

Le nombre c représente la célérité ou vitesse de propagation de l'onde u.

Équation de Fourier

{\part^2 u \over \part x^2} + {\part^2 u \over \part y^2} + {\part^2 u \over \part z^2} = {1 \over \alpha} {\part u \over \part t}

Cette EDP est également appelé équation de la chaleur. La fonction u représente la température. La dérivée d'ordre 1 par rapport au temps traduit l'irreversibilité du phénomène. Le nombre α est appelé diffusivité thermique du milieu.

See also: Équation aux dérivées partielles, Analyse vectorielle, Aéronautique, Calcul différentiel, Conditions aux limites, Dérivée, Dérivée partielle, Electrostatique, Ensemble