Ellipse (mathématiques)

Une ellipse est un ovale particulier, c'est la forme qu'on perçoit en regardant un cercle en perspective. Le contour de l'ombre d'un disque sur une surface plane est aussi une ellipse (même dans le cas où on perçoit un cercle, car le cercle est un cas particulier d'ellipse).

Les trajectoires des corps célestes (planètes, comètes ou satellites artificiels) en orbite autour d'une étoile ou d'une autre planète sont des ellipses.

Sommaire

1 Définitions géométriques

1.1 Directrice et foyer

2 Propriétés géométriques

2.1 Définition bifocale de l'ellipse
2.2 Tangente et bissectrice

3 Rapport entre les grandeurs

4 Equations caractéristiques

4.1 Équation cartésienne
4.2 Forme paramétrique
4.3 Équation polaire

5 Tracer une ellipse

6 Autre acception

Définitions géométriques

L′ellipse est une courbe plane qui fait partie de la famille des coniques. Elle est obtenue par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque ce plan traverse de part en part le cône. Le cercle est un cas particulier de l'ellipse.

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Conique_ellipse.png
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Directrice et foyer

Soient $D$ une droite et $F$ un point n'appartenant pas à $D$ . On appelle ellipse de droite directrice $D$ et de foyer $F$ l'ensemble des points $M$ du plan P (défini comme l'unique plan contenant la droite $D$ et le point $F$ ) vérifiant :

$[1] \qquad \frac{d(M,F)}{d(M,D)} = e \qquad e \in ]0;1[$

où

d (M, F)

mesure la distance du point M au point F et

d (M, D)

mesure la distance du point M à la droite D.

La constante e est appelée excentricité de l'ellipse.

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ellipse

Propriétés géométriques

Définition bifocale de l'ellipse

Soient F et F' deux points distincts du plan. On appelle ellipse l'ensemble des points M du plan vérifiant la propriété suivante :

$[2] \qquad d(M,F) + d(M,F') = 2a \qquad a \in\mathbb{R}$

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La bissectrice du secteur angulaire formé par les droites reliant un point de l'ellipse aux foyers est perpendiculaire à la tangente en ce point.

Tangente et bissectrice

Soit une ellipse dont les foyers sont F et F′. En un point M de cette ellipse, considérons la bissectrice du secteur angulaire(FMF′). Alors, cette bissectrice est perpendiculaire à la tangente en M.

Cette propriété est utilisée en optique géométrique dans les miroirs elliptiques : un rayon lumineux qui passe par un des foyer, lorsqu'il est réfléchi, passe par l'autre foyer. Ainsi, si l'on met une ampoule à un foyer d'un miroir elliptique, le faisceau lumineux se concentre sur l'autre foyer.

Ceci explique également le fait que les sons se propagent très bien d'un quai à l'autre du métro parisien. En effet, la plupart des stations ont une forme elliptique. Si la source d'un son se trouve à un des foyers, tous les sons réfléchis vont converger vers l'autre foyer (sur l'autre quai). Cette propriété possédée par l'ellipse est aussi appelée « propriété de réflexivité » et s'explique en se servant de la tangente en un point de l'ellipse: de cette façon, un son ou un rayon lumineux émis d'un des foyers sera réfléchi sur l'autre foyer. Cette propriété est exploitée dans la conception de certains instruments d'optique. Elle est évidemment présente dans une galerie à écho, c'est-à-dire dans une pièce dont le plafond, par sa forme elliptique, fait qu'une personne qui chuchote en l'un des foyers est entendue en l'autre foyer. La rotonde du Capital Building à Washington et le tabernacle des Mormons à Salt Lake City sont des exemples de cette sorte de galerie. (Extrait du livre d'Analyse 5e édition, de SWOKOWSKI, traduit de l'anglais par Micheline Citta).

Rapport entre les grandeurs

Erreur math (La conversion en PNG a échoué): e = \frac {\sqrt{a^2 - b^2}}{a} \qquad e \mbox{ excentricité}

$a = \frac {b}{\sqrt{1 - e^2}} \qquad a \mbox{ demi-longueur du grand axe}$

$b = a \sqrt{1 - e^2} \qquad b \mbox{ demi-longueur du petit axe}$

Equations caractéristiques

Équation cartésienne

$[3] \qquad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

c'est quoi a ,c'est quoi b ??

Forme paramétrique

$[4] \qquad \left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} x & = & a\cos t \\ y & = & b\sin t \end{matrix} \\ t \in [0,2\pi[ \end{matrix} \right.$

Équation polaire

$[5] \qquad r = \frac{l}{1+e \cos \theta} \qquad \theta \in [0,2\pi[$

Tracer une ellipse

Méthode des deux points et de la corde : selon la propriété [2], la somme AF + AF′ des distances entre un point A de l'ellipse et ses deux foyers F et F′ est constante. Ainsi, on plante deux piquets dans le sol (les deux foyers), on prend une corde non élastique de longueur donnée (la somme constante) que l'on attache aux piquets; le trajet que l'on parcourt en maintenant la corde tendue est une ellipse. On nomme cette technique celle de « l'ellipse du jardinier ».

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Tracé d'une ellipse à l'aide de deux piquets et d'une corde non élastique tendue

Tracé d'une ellipse à l'aide de deux piquets et d'une corde non élastique tendue

En dessin industriel, une ellipse est en général un cercle vu en perspective (une pièce est rarement elliptique même si ce n'est pas exclu), ou bien un perçage en biais par rapport à la surface de la pièce. L'ellipse se représente donc avec les même traits d'axe que pour le cercle. Dans le cas d'un cercle vu en perspective, ces traits d'axe sont inclinés et suivent les directions de référence. Dans le cas d'une forme réellement elliptique, les traits d'axes sont perpendiculaires.

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Ellipse servant à représenter un perçage droit vu en perspective (figure de droite); le trait d'axe vertical figure l'axe du perçage

Ellipse servant à représenter un perçage droit vu en perspective (figure de droite); le trait d'axe vertical figure l'axe du perçage

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Ellipse servant à représenter un perçage oblique vu de face (figure de droite)

Ellipse servant à représenter un perçage oblique vu de face (figure de droite)

Tracé à main levée, méthode du parallélogramme exinscrit : on a vu ci-dessus qu'une ellipse pouvait être considérée comme un cercle vu en perspective. De même qu'un cercle est inscrit dans un carré, une ellipse est inscrite dans un parallélogramme qui n'est autre que ce carré vu en perspective (notez qu'il existe une infinité de parallélogrammes exinscrits, il suffit d'en choisir un). On trace d'abord un parallélogramme, on le divise en quatre quartiers selon les parallèles aux côtés passant par les milieux des autres côtés; dans chaque quartier, on trace un arc passant par les milieux des côtés et tangents aux côtés en ces milieux.

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Tracé d'une ellipse à main levée à l'aide d'un parallélogramme

Tracé d'une ellipse à main levée à l'aide d'un parallélogramme

Autre acception

Voir l'article Ellipse.