Électrostatique

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L'Electrostatique est la branche de la physique qui traite des forces produites par une distribution statique de charges.

En électrostatique, on ignore tout courant et tout champs magnétique.

L'équation fondamentale de l'électrostatique est la loi de Coulomb, qui décrit la force d'interaction entre deux charges ponctuelles :

F = \frac{\left|q_1 q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2}

Le Potentiel électrique (aussi appelé tension) est une notion courante et importante de l'électrostatique .

L'équation de Poisson donne une relation locale entre la distribution de charge et le potentiel :

{\nabla}^2 V = - {\rho \over \epsilon_0}


Dans un système de charges, on admet que chaque charge exerce sur une autre une force, dirigée selon la droite qui relie les deux charges, dont l'intensité est proportionnelle aux deux charges et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Bref vérifiant la loi de Coulomb.

Un corps chargé attire et est attiré par les corps portant une charge de signe opposé à la sienne; il repousse ceux qui portent une charge de même signe que lui. Cette action diminue inversement proportionnellement au carré de la distance qui les sépare.


On constate aussi que les influences des différentes charges s'ajoutent linéairement. Cela signifie que pour connaître la force exercée sur une charge par plusieurs autres charges, il suffit de calculer la force qu'exercerait chacune des charges prise isolément, et d'additionner les résultats :

C'est ce que l'on appelle le principe de superposition qui traduit la linéarité de la loi de coulomb.

La loi de Coulomb est très proche de l'expression des forces gravitationnelles ; mais ces dernières sont (pour une particule donnée) beaucoup plus faibles. Pourtant, les forces électrostatiques ont peu d'effet à grande échelle, tandis que la gravitation explique le mouvement des astres.

Cela provient du fait qu'en moyenne, la matière contient autant de charges positives que de charges négatives et donc, au-delà de l'échelle des inhomogénéités, leurs influences se compensent.Pour la gravitation, au contraire, les masses sont toutes de même « signe » (positif) et elles s’attirent au lieu de se repousser.

Sommaire
1 Quelques notions d'électrostatique

1.1 Généralités
1.2 Force électrostatique
1.3 Champ électrostatique
1.4 Champ électrique créé par quelques distributions de charges

2 Le potentiel électrostatique

2.1 Exemples de potentiels :
2.2 Un fil fini : calcul direct du champ produit :

3 Voir aussi :

Quelques notions d'électrostatique

Généralités

Électron
Électricité
Magnétisme
Électrostatique</center>
Charge
Coulomb
Champ E
Gauss
Potentiel
<center>Magnétostatique</center>
Courant
Ampère
Champ B
Moment M
<center>Électrocinétique</center>
Lorentz
FEM
Induction
Loi de Lenz
Courant induit
Maxwell
Champ
Rayonnement
<center>circuit</center>
Générateur
Résistance
Condensateur
Inductance
Impédance
Circuit électrique
électronique
Guide d'onde

Il existe une expérience simple permettant d'apercevoir une force électrostatique ; c'est une expérience que tout le monde peut faire, il suffit de frotter une règle en plastique avec un chiffon et de l'approcher de petits bouts de papier, on s'aperçoit tout de suite que les papiers se collent à la règle.
À partir de là, on peut considérer deux catégories de corps, ceux où l'état d'électrisation (principe énoncé juste au-dessus) se conserve localement sont dits isolants et ceux où cet état se répartit sur la surface du conducteur sont dits conducteurs.
Pour travailler en électrostatique, il est nécessaire de connaître la charge élémentaire : e = 1,6.10 − 19C
La charge élémentaire peut être positive ou négative (exemple : le proton est positif et l'électron est négatif), toutefois elle est toujours un multiple entier de la charge élémentaire.

Force électrostatique

La force électrostatique entre deux charges ponctuelles (q1,q2) est donnée par la loi de Coulomb :
\vec{F}_1(2) = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r_{12}^2}\frac{\vec{r}_{12}}{\|\vec{r}_{12}\|}=-\vec{F}_2(1)
avec \vec{r}_{12}=\vec{r}_2- \vec{r}_1
Remarque : \epsilon_0 = 8,8537.10^{-12} ; \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}=9.10^9 N m^2C^{-2}

Champ électrostatique

Le champ électrostatique créé en 2 par une charge ponctuelle q1 située en 1 (la charge pouvant être positive ou négative) vaut, en unités SI :

\vec{E_1}(2) = \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r_{12}^2}\frac{\vec{r}_{12}}{\|\vec{r}_{12}\|}

La force s'exerçant sur une charge q2 plongée dans ce champ vaut alors :

\vec{F_1}(2) = q_2 \vec{E_1}(2)

Le champ créé par plusieurs charges est additif (principe de superposition) :

\vec{E_T} = \vec{E_1} + \vec{E_2} + \vec{E_3} + ...

Pour une distribution de charges continue dans l'espace, le champ vaut :

\vec{E} = \int\frac{\rho} {4\pi\epsilon_0 r^2}\mathbf{\hat r}\,d^{3}\mathbf{r}

ou de façon plus détaillée :

\vec{E}(x_2,y_2,z_2) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_o}\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int\frac{\rho(x_1,y_1,z_1)\vec{r}_{12}}{r_{12}^3} dx_1dy_1dz_1

où ρ est la densité volumique de charge en 1, \vec{r}_{12} est le vecteur allant de 1 au point 2 ; autour du point 1 il y a une charge ρ dx1dy1dz1.

Champ électrique créé par quelques distributions de charges

Les champs électriques peuvent rarement être calculés analytiquement par le calcul direct de la dernière formule mais peuvent toujours être calculés numériquement par l'informatique.

Lorsqu'il existe des symétries, on peut faire le calcul en appliquant le théorème de Gauss au champ électrique :

Le flux du champ électrique à travers une surface fermée S est proportionnel à la somme des charges qui sont à l'intérieur de cette surface.
\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_s}{\varepsilon_0}

Voici quelques exemples de calcul pour des distributions de charges symétriques.

E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}
E(r)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}
La valeur du champ est constante dans tout l'espace.
Conséquence du théorème de Gauss, nous retrouvons à l'extérieur de la sphère un champ égal à celui d'une charge Q ponctuelle placée au centre de la sphère :
E(r) = \frac{4\pi/3 \rho R^3}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}

Le potentiel électrostatique

On a la relation qui lie le champ et le potentiel électrique :

\vec{E}(\vec{r})=-\vec{\nabla}{V(\vec{r})}

car mathématiquement : :\vec{grad}(\frac{1}{\left|\vec{r}\right|}) =\vec\nabla (\frac{1}{\left|\vec{r}\right|}) = -\frac{\vec{r}}{\left|\vec{r}\right|^3} \;

où le potentiel créé par une charge élémentaire q vaut :

V(r)=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r}+constante

La constante est prise nulle s'il n'y a pas de charges à l'infini. L'unité de mesure du potentiel électrique est le Volt (symbole V), égal au J/C (Joule par Coulomb).

Circulation du champ électrique :

\Delta V=V_\infty -V_1 =-\int_1^\infty \vec{E}\cdot\vec{dl}

Équation de Poisson, pour une densité de charge ρ :

\vec{\nabla} \cdot \vec{E}=-\frac{\rho}{\epsilon_0}

Équation de Laplace :

ΔV = 0

Exemples de potentiels :

V(\rho)=\int_1^z\,dV=\frac{-\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\,ln\,z
V(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\int_0^R\,\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2+z^2}}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\,(\sqrt{R^2+z^2}-z)

Un fil fini : calcul direct du champ produit :

Supposons que l'on a l'axe des x chargé sur un segment AB avec une densité de charge linéique λ et un point M (x,y) dans le plan xOy où l'on veut déterminer le champ produit par les charges réparties sur AB; considérons un point P(x,0) et un intervalle dx de AB ayant une charge λdx

Cette charge crée un champ :

\vec {E}(M)=\int_a^b\,d\vec{E}(M)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\int_a^b\,\frac{\vec {PM}}{PM^3} dx =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\int_a^b\,\left(\frac{(x-x_M)\vec {i}+y_M\vec {j}}{\left((x-x_M)^2+y_M^2\right)^{3/2}}\right) dx
=\left(\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\int_a^b\,\frac{(x-x_M) dx}{\left((x-x_M)^2+y_M^2\right)^{3/2}} \right) \vec {i}+ \left(\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\int_a^b\,\frac{y_M dx}{\left((x-x_M)^2+y_M^2\right)^{3/2}} \right)\vec {j}

Il reste à faire les deux intégrales suivant x pour obtenir les composantes de :

\vec {E}(x_M,y_M)= E_x(x_M,y_M)\vec {i}+ E_y(x_M,y_M)\vec {j}

En constatant que :

\frac{(x-x_M)}{\left((x-x_M)^2+y_M^2\right)^{1/2}} = sin(\alpha) et \frac{y_M}{\left((x-x_M)^2+y_M^2\right)^{1/2}} = cos(\alpha) on déduit :\frac{(x-x_M)}{y_M} = tg(\alpha) où α est l'angle HMP,
\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\int_a^b\,\frac{(x-x_M)dx}{\left((x-x_M)^2+y_M^2\right)^{3/2}} =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\int_a^b\,\frac{(x-x_M)dx}{r^{3}} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} sin(\alpha)d\alpha facile à intégrer

On a utilisé :dx=\frac{y_M}{cos^2(\alpha)}d\alpha  : et :\frac{1}{r^2}=\frac{cos^2(\alpha)}{y_M^2}  : et :\frac{x-x_M}{r}=sin(\alpha)

Voir aussi :

See also: Électrostatique, Ampère, Astronomie, Atome, Calcul vectoriel, Carl Friedrich Gauss, Champ magnétique, Champ électrique