Division
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Cet article concerne les mathématiques. Voir aussi division (biologie), division (militaire), division (sport) et division cellulaire.
La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. En fait la division par un nombre est la réciproque de la multiplication par ce même nombre.
À l'origine, la division sert à faire un partage équitable : comment répartir 800 grammes entre sept personnes, de manière équitable ? La division donne la réponse : 800 / 7 ≈ 114,28…
| Sommaire |
Historique
Définition
Étant donné un anneau intègre (A,+,×), la division sur A est l'application partielle de 
, notée par exemple « ÷ », telle que 
, a ÷ b = c si et seulement si a × c = b.
L'intégrité de l'anneau assure que la division a bien un résultat unique. Par contre, elle n'est pas tout le temps définie. Elle sera définie partout sauf en 
si et seulement si A est un corps, et en aucun cas définie pour b = 0.
Si la division n'est pas définie partout, on peut étendre conjointement la division et l'ensemble A en posant que 
, a ÷ b est un nombre de cet ensemble étendu. On construit ainsi le corps engendré par l'anneau A. C'est ainsi que l'on construit 
à partir de 
.
Cette définition ne recouvre pas celle de division euclidienne, qui dans l'idée sert aussi à inverser la multiplication mais contourne le problème que la division ne soit pas définie partout sur l'anneau des entiers relatifs (ou sur d'autres anneaux, comme les anneaux de polynômes, en généralisant) en introduisant la notion de reste. Néanmoins, comme pour toutes les divisions, le b de la définition ne peut être zéro.
Propriétés
- non-commutative car 5 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 5
- non-associative car 12 ÷ (4 ÷ 3) ≠ (12 ÷ 4) ÷ 3
- Elle possède un élément neutre à droite : 1
- Et un élément absorbant à gauche : 0
Algorithme de division de nombres décimaux
Cet algorithme sert à calculer numériquement le résultat d'une division de deux nombres décimaux (mais peut être généralisé à tout développement décimal d'un nombre réel auquel cas on ne calculera qu'une approximation du résultat). Il s'agit d'une division euclidienne répétée tant qu'il y a un reste non nul.
La division en langue française
On peut diviser une entité en un nombre de parties dont l'addition donne cette entité, par un moyen implicite ou explicite.
Ainsi, on peut :
- diviser un gâteau en deux parts, par un coup de couteau
- simplement diviser un gâteau en deux [parts, par un moyen quelconque]
- diviser 1 en 2 demis, par la représentation mentale mathématique que l'on s'en fait
- simplement diviser 1 en 36ème
- etc.
On peut également diviser par les armes, cependant on ne peut pas diviser par 2 qui n'est, en langue française, pas un moyen de division valable de quoi que ce soit mais simplement une représentation mathématique.
Néanmoins l'usage mathématique français veut que l'on lise « a ÷ b = c » : « a divisé par b égale c ».