Divisibilité

Sommaire

1 Diviseurs et Multiples 2 Propriétés de base de la divisibilité 3 La division euclidienne dans ℤ 4 Voir aussi :

Diviseurs et Multiples

Étant donné des entiers relatifs a et b, on dit que b divise a s'il existe un entier c tel que a = b × c.

On dit aussi que :
- a est divisible par b
- a est un multiple de b

Par exemple, si on note D_m l'ensemble des diviseurs de m, D₁₀ = {-10 ; -5 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 5 ; 10} ; si on note M_n l'ensemble des multiples de n, M₁₀ = {10 × k} où k parcourt l'ensemble des entiers relatifs.

Propriétés de base de la divisibilité

1. a divise a.
2. Si b divise a et si b est non nul, alors |b| ⩽ |a|.
3. Si b divise a, et si a divise c alors b divise c.
4. Si a divise b et a divise c alors pour tous les entiers k et k' a divise (kb-k'c).
5. Si a divise b et b divise a, alors |a| = |b|.
6. La divisibilité est une relation d'ordre sur les entiers naturels (en effet : 1, 3 et 5 impliquent respectivement la réflexivité, la transitivité et l'antisymétrie de cette relation).
7. ℕ muni de la divisibilité, du pgcd et du ppcm est un treillis.

La division euclidienne dans ℤ

Pour tous entiers relatifs a et b, il existe un couple unique d'entiers (q ; r) tel que :

a = b × q + r avec 0 ⩽ r < a

• a s'appelle le dividende de la division euclidienne.
• b s'appelle le diviseur de la division euclidienne.
• q s'appelle le quotient de la division euclidienne.
• r s'appelle le reste de la division euclidienne.

Voir aussi :

• Mathématiques
• Critères de divisibilité
• Table des diviseurs
• Table des facteurs premiers

See also: Divisibilité, Critères de divisibilité, Entier naturel, Mathématiques, Plus grand commun diviseur, Plus petit commun multiple, Relation d'ordre, Table des diviseurs, Table des facteurs premiers, Treillis (mathématiques)