Diviseur de zéro

Soit (A, +, ×) un anneau; les éléments a et b de A sont des diviseurs de zéro si et seulement si :

a ≠ 0 et b ≠ 0
a × b = 0

Si l'anneau n'est pas commutatif, a est diviseur de zéro à gauche et b diviseur de zéro à droite.

L'existence de diviseurs de zéro dans un anneau l'empêche d'être un corps. Les éléments qui ne sont pas diviseurs de zéro sont dits réguliers.

Exemples

L'anneau Z des entiers relatifs ne contient aucun diviseur de zéro, mais dans l'anneau Z² (où addition et multiplication s'appliquent aux composantes), on a (0,1) × (1,0) = (0,0), égalité qui révèle que (0,1) et (1,0) sont des diviseurs de zéro.

Dans l'anneau Z/6Z, la classe de 4 est un diviseur de zéro, car 3×4 est congru à 0 modulo 6.

L'anneau $\mathcal M_2(\mathbb R)$ des matrices 2×2 réelles contient aussi des diviseurs de zéro, dont la matrice $\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}$ , puisque nous avons $\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\ -1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\ -2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\ 0&0\end{pmatrix}$

Curiosités non commutatives

Dans le cas d'un anneau non commutatif, un diviseur de zéro à gauche ne peut pas être inversible à gauche, mais il peut l'être à droite. De même, un diviseur de zéro à droite ne peut pas être inversible à droite, mais il peut l'être à gauche. De tels éléments existent en particulier dans l'anneau des endomorphismes de l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.

Pour u : P --> P'

v : P --> Primitive de P s'annulant en 0

w : P --> P(0)

on a effectivement u v = 1, u w = 0 et w v = 0.

Diviseur de zéro

Exemples

Curiosités non commutatives

See also: Diviseur de zéro, Anneau, Arithmétique modulaire, Corps, Endomorphisme, Entier relatif, Espace vectoriel, Matrice (mathématiques), Polynôme, Élément inversible